Pour un écoulement stationnaire et pleinement développé de deux couches de liquides non miscibles dans un canal, les équations directrices se réduisent à une équation de quantité de mouvement pour chaque phase, couplée par les conditions aux parois et à l'interface liquide-liquide. Pour des fluides newtoniens incompressibles, la conservation de la masse exige un champ de vitesse à divergence nulle, tandis que la conservation de la quantité de mouvement est décrite par les équations de Navier-Stokes. Dans l'approximation courante des plaques parallèles, la vitesse axiale dans chaque phase est quadratique à travers le canal, et les constantes d'intégration sont déterminées par l'absence de glissement aux parois ainsi que par la continuité de la vitesse et de la contrainte de cisaillement à l'interface.

Les profils de vitesse sont régis par des bilans de quantité de mouvement entraînés par un gradient de pression dans chaque phase. Le contraste de viscosité affecte le profil via les équations de quantité de mouvement spécifiques à chaque phase, tandis que les conditions d'interface imposent un mouvement et un transfert de contrainte physiquement cohérents entre les liquides.

Ce qui doit être résolu

Continuité dans chaque phase

Pour des phases incompressibles à densité constante, l'équation de continuité est

[ \nabla \cdot \mathbf{v}^{(i)} = 0, \qquad i=1,2 ]

où (\mathbf{v}^{(i)}) est le champ de vitesse de la phase (i).

Pour un écoulement en canal unidirectionnel, stationnaire et pleinement développé,

[ \mathbf{v}^{(i)} = \left(v_x^{(i)}(y),0,0\right) ]

et la continuité est automatiquement satisfaite car la vitesse axiale ne varie que dans la direction transversale.

Conservation de la quantité de mouvement

L'équation générale de quantité de mouvement pour un fluide newtonien incompressible pour chaque phase est

[ \rho_i \frac{D\mathbf{v}^{(i)}}{Dt}

\rho_i\mathbf{g} -\nabla P^{(i)} +\mu_i\nabla^2\mathbf{v}^{(i)} ]

où (\rho_i), (\mu_i) et (P^{(i)}) sont la densité, la viscosité dynamique et la pression de la phase (i).

Cette équation inclut l'accélération transitoire et convective, la gravité, les forces de pression et la diffusion visqueuse de la quantité de mouvement.

Écoulement axial pleinement développé

Lorsque l'écoulement est stationnaire, pleinement développé et principalement entraîné par un gradient de pression axial, l'équation de quantité de mouvement axiale devient

[ 0

-\frac{dP^{(i)}}{dx} + \mu_i\frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2} ]

ou, de manière équivalente,

[ \frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2}

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

pour chaque couche de liquide.

La distribution de vitesse résultante est

[ v_x^{(i)}(y)

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx}\frac{y^2}{2} + a_i y+b_i ]

où (a_i) et (b_i) sont des constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites et à l'interface.

Conditions aux limites aux parois solides

Condition de non-glissement

À une paroi solide stationnaire, la vitesse tangentielle du fluide est égale à la vitesse de la paroi. Pour la géométrie à deux couches dans la configuration de référence,

[ v_x^{(1)}(H_1)=0 ]

[ v_x^{(2)(-H_2)=0 ]

où la phase 1 occupe la région entre l'interface et la paroi supérieure, et la phase 2 occupe la région entre la paroi inférieure et l'interface.

Ces conditions fournissent deux des quatre équations nécessaires pour déterminer les constantes d'intégration.

Condition de non-pénétration

À une paroi stationnaire imperméable, la vitesse normale est nulle :

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(i)}=0 ]

Cette condition empêche tout liquide de traverser la paroi du canal. Dans la solution unidirectionnelle idéalisée, elle est déjà représentée par l'absence de composante de vitesse normale à la paroi.

Parois mobiles ou poreuses

Si une paroi se déplace, la condition tangentielle devient

[ \mathbf{v}_t=\mathbf{V}_{w,t} ]

au lieu de zéro. Une paroi poreuse ou réactive nécessite une condition de flux normal distincte, car le fluide ou les espèces peuvent traverser la limite.

Conditions à l'interface liquide-liquide

Condition d'interface cinématique

À une interface stationnaire située en (y=0), la vitesse normale doit être compatible avec la position de l'interface. Pour une interface imperméable et non réactive,

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(1)}

\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(2)} ]

Pour la configuration parallèle et pleinement développée, les deux vitesses normales sont nulles.

Si l'interface est en mouvement ou se déforme, sa vitesse doit plutôt satisfaire la condition cinématique correspondante. L'emplacement de l'interface devient alors une partie de la solution inconnue.

Continuité de la vitesse tangentielle

Pour deux liquides newtoniens ordinaires et non miscibles sans glissement interfacial,

[ v_x^{(1)}(0)=v_x^{(2)}(0) ]

Cette condition garantit que les couches de liquide ont la même vitesse tangentielle à leur limite mutuelle.

Elle fournit la troisième relation nécessaire pour déterminer les constantes d'intégration.

Continuité de la contrainte tangentielle

Lorsque l'interface ne présente aucune contrainte tangentielle générée par des gradients de tension superficielle, les contraintes de cisaillement visqueux sont continues :

[ \mu_1\frac{dv_x^{(1)}}{dy}(0)

\mu_2\frac{dv_x^{(2)}}{dy}(0) ]

Ceci est essentiel lorsque les viscosités diffèrent. Le gradient de vitesse change généralement à travers l'interface de sorte que la contrainte de cisaillement reste équilibrée.

Elle fournit la quatrième relation pour les quatre constantes d'intégration dans les deux profils de vitesse quadratiques.

Contrainte normale et tension superficielle

Un modèle complet à deux phases nécessite également une condition de contrainte normale à l'interface. Sous forme générale,

[ \mathbf{n}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\gamma\kappa ]

avec une convention de signe appropriée, où (\boldsymbol{\tau}) est le tenseur des contraintes totales, (\gamma) est la tension interfaciale et (\kappa) est la courbure de l'interface.

Pour une interface plane et stationnaire avec une tension interfaciale constante, la courbure est nulle et la condition de contrainte normale se réduit à l'égalité des contraintes normales. Cette condition devient particulièrement importante lorsque l'interface se déforme, que le canal n'est pas plan ou que les forces capillaires contrôlent la distribution des phases.

Effets Marangoni

Si la tension interfaciale varie avec la température ou la composition, la contrainte tangentielle n'est pas simplement continue. Son saut est équilibré par le gradient de tension superficielle :

[ \mathbf{t}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\nabla_s\gamma\cdot\mathbf{t} ]

où (\nabla_s) désigne le gradient de surface.

Pour des liquides isothermes avec une composition uniforme à l'interface, ce terme est normalement négligé.

Conditions aux entrées et sorties du canal

Flux d'entrée spécifié

Les modèles d'usines pilotes spécifient généralement des profils de vitesse d'entrée, des débits de phase ou des débits volumétriques totaux. Une entrée pleinement développée peut être prescrite comme

[ v_x^{(i)}(y)=v_{\text{in}}^{(i)}(y) ]

ou par le débit de phase,

[ Q_i=\int_{A_i}v_x^{(i)},dA ]

La spécification d'entrée doit être cohérente avec la distribution des phases et la position de l'interface.

Gradient de pression spécifié

Pour un canal long et pleinement développé, le gradient de pression peut être l'entrée de contrôle :

[ \frac{dP^{(i)}}{dx} ]

Dans de nombreuses configurations de canaux à co-courant, le gradient de pression axial est commun aux deux phases, bien que les profils de vitesse résultants diffèrent car les viscosités et les épaisseurs de couche diffèrent.

Condition de sortie

À une sortie, le modèle peut spécifier une pression, une condition d'écoulement développé ou une condition de sortie convective appropriée. Le choix dépend de la modélisation de l'usine pilote (pilotée par la pression, contrôlée par le débit ou connectée à des équipements en aval).

La condition de sortie doit éviter d'imposer une contrainte artificielle sur une interface ou un champ de vitesse en développement.

Pourquoi le contraste de viscosité est important

Différente courbure des profils

La courbure de chaque profil de vitesse est proportionnelle à

[ \frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

Au même gradient de pression, la phase la moins visqueuse développe une courbure de vitesse plus grande que la phase la plus visqueuse.

Le bilan des contraintes contrôle le changement de gradient

Bien que la vitesse tangentielle soit continue à l'interface, les gradients de vitesse ne le sont pas nécessairement. La condition de contrainte exige

[ \mu_1\left.\frac{dv_x^{(1)}}{dy}\right|_{0}

\mu_2\left.\frac{dv_x^{(2)}}{dy}\right|_{0} ]

Ainsi, un rapport de viscosité modifie la façon dont la quantité de mouvement est distribuée entre les couches.

Conséquences pour les opérations unitaires

Le champ de vitesse résultant affecte la distribution du temps de séjour, le renouvellement interfacial, la perte de charge, la rétention de phase, la zone de transfert de masse et les performances de séparation.

Ces effets sont importants dans les modules d'extraction liquide-liquide, les réacteurs à écoulement stratifié, les dispositifs de contact membranaire et d'autres équipements pilotes de type canal.

Comprendre les compromis

L'hypothèse du développement complet

La solution quadratique n'est valide qu'une fois que les effets d'entrée sont devenus négligeables. Près des entrées, des distributeurs, des coudes, des contractions et des dispositifs de séparation de phase, le développement axial et le mouvement secondaire peuvent nécessiter les équations multidimensionnelles complètes.

L'hypothèse de l'interface plane

Une interface fixe en (y=0) exclut la déformation de l'interface et l'évolution capillaire. Cela peut être inadéquat lorsque les débits sont élevés, que les dimensions du canal sont petites, que la tension interfaciale est faible ou que les propriétés des phases produisent des différences de pression significatives.

L'hypothèse de l'écoulement laminaire

L'équation différentielle ordinaire simplifiée décrit un écoulement visqueux et pleinement développé et est plus directement applicable dans des conditions laminaires. Si le canal entre dans un régime transitoire ou turbulent, des relations de fermeture supplémentaires et une modélisation de la turbulence peuvent être nécessaires.

Le nombre de Reynolds doit être basé sur une dimension hydraulique appropriée, telle que le diamètre hydraulique moyen

[ d_m=\frac{4A}{p} ]

pour la géométrie de canal pertinente.

L'hypothèse de l'interface sans glissement

La continuité de la vitesse suppose un glissement interfacial négligeable. Dans certains systèmes spécialisés, les tensioactifs, la contamination, la rhéologie interfaciale ou les effets à micro-échelle peuvent altérer la condition d'interface et nécessiter un modèle constitutif interfacial.

L'hypothèse des propriétés constantes

Les équations de référence supposent une viscosité et une densité constantes. Des gradients de température ou de composition importants peuvent rendre (\mu_i) et (\rho_i) variables, couplant la quantité de mouvement avec les bilans d'énergie et d'espèces.

Faire le bon choix pour votre objectif

Utilisez les principes de sélection de modèle suivants lors de la représentation d'une usine pilote à canal biphasique :

Si votre objectif principal est l'écoulement piloté par la pression pleinement développé : Résolvez les équations de quantité de mouvement réduites spécifiques à la phase avec non-glissement aux parois, continuité de la vitesse tangentielle et continuité de la contrainte tangentielle à l'interface.
Si votre objectif principal est la position de l'interface ou la rétention de phase : Ajoutez la condition d'interface cinématique et le bilan de contrainte normale, y compris la tension superficielle et la courbure.
Si votre objectif principal est le comportement de l'entrée, du distributeur ou de la zone de virage : Conservez les équations complètes de Navier-Stokes multidimensionnelles transitoires ou stationnaires et imposez des conditions d'entrée, de sortie, de paroi et d'interface physiquement cohérentes.
Si votre objectif principal est le transfert de masse ou la réaction : Couplez les équations d'écoulement à la conservation des espèces et imposez des conditions de concentration ou de flux aux entrées, aux parois et à l'interface liquide-liquide.
Si votre objectif principal est la montée en échelle et la prédiction de la perte de charge : Incluez le diamètre hydraulique approprié, le régime de nombre de Reynolds, la rugosité de la paroi, les débits de phase et les variations de propriétés.

Un modèle d'usine pilote biphasique fiable est défini non seulement par ses équations différentielles, mais aussi par des conditions aux limites et à l'interface qui représentent avec précision le fonctionnement réel de l'équipement.

Tableau récapitulatif :

Élément du modèle	Exigence directrice	Objectif
Continuité	`∇ · v⁽ⁱ⁾ = 0`	Assure la conservation de la masse incompressible dans chaque phase
Quantité de mouvement	`ρᵢ Dv⁽ⁱ⁾/Dt = ρᵢg − ∇P⁽ⁱ⁾ + μᵢ∇²v⁽ⁱ⁾`	Décrit la pression, la gravité, l'inertie et les effets visqueux
Écoulement pleinement développé	`0 = −dP⁽ⁱ⁾/dx + μᵢ d²vₓ⁽ⁱ⁾/dy²`	Produit des profils de vitesse quadratiques dans chaque couche
Parois solides	Conditions de non-glissement et de non-pénétration	Définit le mouvement du fluide aux parois stationnaires, mobiles ou poreuses
Interface liquide-liquide	Compatibilité de la vitesse normale et continuité de la vitesse tangentielle	Maintient une limite de phase physiquement cohérente
Contrainte de cisaillement	`μ₁ dvₓ⁽¹⁾/dy = μ₂ dvₓ⁽²⁾/dy`	Équilibre le transfert de quantité de mouvement à travers l'interface
Contrainte normale	Saut de contrainte équilibré par `γκ`	Prend en compte la courbure et la tension superficielle lorsque l'interface se déforme
Effets Marangoni	Saut de contrainte tangentielle équilibré par `∇ₛγ`	Représente les gradients de tension superficielle causés par la température ou la composition
Entrée et sortie	Débit prescrit, vitesse, pression ou condition d'écoulement développé	Fait correspondre le modèle au fonctionnement réel de l'usine pilote
Modèles étendus	Équations d'énergie, d'espèces, de turbulence et de propriétés variables	Prend en charge le transfert de masse, la réaction, la montée en échelle et les conditions de fonctionnement non idéales

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