Pour un écoulement rampant autour d'une particule sphérique, la traînée hydrodynamique totale est donnée par la loi de Stokes, (F_D = 6\pi \mu R U), où (\mu) est la viscosité du fluide, (R) est le rayon de la particule, et (U) est la vitesse relative entre la particule et le fluide. La force totale est obtenue en intégrant la traction du fluide sur toute la surface sphérique. Les forces de pression contribuent pour un tiers, (F_{D,p}=2\pi\mu R U), tandis que les forces de cisaillement visqueux contribuent pour deux tiers, (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U).

Dans un écoulement rampant, la traînée de la sphère est linéaire par rapport à la viscosité, à la taille de la particule et à la vitesse relative. Bien que l'inertie soit négligeable, le champ de pression environnant contribue toujours pour un tiers à la traînée ; le cisaillement de surface contribue pour les deux tiers restants.

Établissement du régime d'écoulement rampant

Le nombre de Reynolds pertinent

L'écoulement rampant s'applique lorsque le nombre de Reynolds de la particule est bien inférieur à un :

[ Re_p=\frac{\rho U d}{\mu}\ll 1 ]

où (\rho) est la densité du fluide et (d=2R) est le diamètre de la particule.

À de tels nombres de Reynolds, les effets inertiels sont négligeables par rapport aux effets visqueux. L'écoulement est régi principalement par l'équilibre entre les gradients de pression et les contraintes visqueuses.

La signification de la vitesse relative

La vitesse (U) dans la loi de Stokes est la vitesse relative entre la particule et le fluide environnant. Pour une particule stationnaire dans un fluide en mouvement, (U) est la vitesse locale du fluide par rapport à la particule.

Pour une particule en sédimentation, (U) est la vitesse de la particule par rapport au fluide, souvent évaluée à la vitesse terminale lorsque la force nette est nulle.

Calcul de la traînée hydrodynamique totale

La loi de Stokes

L'amplitude totale de la traînée sur une sphère est

[ F_D=6\pi\mu R U ]

L'utilisation du diamètre au lieu du rayon donne la forme équivalente

[ F_D=3\pi\mu d U ]

La traînée agit à l'opposé du mouvement relatif de la particule à travers le fluide.

Intégration des forces de surface

La force exercée sur la particule provient de la traction du fluide agissant sur sa surface. Cette traction comporte deux composantes :

[ \text{traction de surface}= \text{traction de pression normale} + \text{traction visqueuse tangentielle} ]

L'intégration des deux composantes sur la surface sphérique donne

[ F_D=F_{D,p}+F_{D,\tau} ]

Pour une sphère en écoulement rampant,

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

Par conséquent,

[ F_D

2\pi\mu R U+4\pi\mu R U

6\pi\mu R U ]

Contributions relatives de la pression et du cisaillement

Contribution de la pression

La distribution de pression autour de la sphère produit

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

Par rapport à la traînée totale,

[ \frac{F_{D,p}}{F_D}

\frac{2\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{1}{3} ]

Ainsi, la pression représente environ 33,3 % de la traînée totale.

Ce champ de pression n'est pas un effet de traînée de forme inertielle au sens habituel des nombres de Reynolds élevés. Bien que l'inertie soit négligeable, l'écoulement visqueux autour de la sphère nécessite un gradient de pression, et cette distribution de pression a une composante de force nette dans la direction opposée au mouvement.

Contribution de la contrainte de cisaillement

Les contraintes visqueuses tangentielles à la surface de la particule produisent

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

Leur fraction de la traînée totale est

[ \frac{F_{D,\tau}}{F_D}

\frac{4\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{2}{3} ]

Par conséquent, le cisaillement visqueux représente environ 66,7 % de la traînée totale.

Cette contribution plus importante reflète la condition de non-glissement à la surface de la particule. La vitesse du fluide passe rapidement de la vitesse de surface de la particule à la vitesse de l'écoulement environnant, créant des gradients de vitesse et une contrainte de cisaillement tangentielle à la paroi.

La répartition un tiers - deux tiers

La décomposition de la force peut être résumée comme suit :

[ F_D

\underbrace{2\pi\mu R U}{\text{pression : }1/3} + \underbrace{4\pi\mu R U}{\text{cisaillement : }2/3} ]

Le rapport entre la traînée de pression et la traînée de cisaillement est donc

[ F_{D,p}:F_{D,\tau}=1:2 ]

Cette distinction est utile dans les équipements pédagogiques car les capteurs de pression et les mesures de force peuvent refléter différentes parties de la même interaction hydrodynamique.

Relier le résultat aux équipements d'opérations unitaires

Sédimentation et clarification

Dans les expériences de sédimentation, la loi de Stokes est utilisée pour relier la taille des particules, la viscosité du fluide et la vitesse de sédimentation. À la vitesse terminale de sédimentation, la traînée équilibre le poids effectif de la particule :

[ F_D=F_g-F_b ]

où (F_g) est le poids de la particule et (F_b) est la poussée d'Archimède.

Le calcul de la traînée aide les étudiants à analyser l'efficacité de la sédimentation, le temps de séjour et les performances des clarificateurs ou des colonnes de séparation.

Mesures de pression différentielle

Les équipements pilotes peuvent mesurer les différences de pression à travers les canaux d'écoulement, les sections garnies ou les dispositifs de séparation. Ces mesures représentent les forces de pression associées à la quantité de mouvement du fluide et à la résistance visqueuse à travers l'équipement, et non nécessairement la composante de pression de la traînée sur une sphère isolée.

Par conséquent, une chute de pression mesurée ne doit pas être automatiquement interprétée comme la contribution de pression d'un tiers dans la loi de Stokes. La géométrie de mesure et le volume de contrôle déterminent quelles forces sont enregistrées.

Mesures de contrainte de cisaillement

La contrainte de cisaillement à la paroi est liée au gradient de vitesse local par

[ \tau_w

-\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)_{y=0} ]

Cette relation illustre le même principe physique responsable de la contribution du cisaillement de la sphère : la force visqueuse provient des gradients de vitesse à une surface.

Les corrélations pour plaques planes, telles que les relations de frottement de la couche limite laminaire, sont utiles pour les expériences d'écoulement en canal et sur paroi. Elles ne doivent pas être substituées directement au résultat pour une particule sphérique, car la géométrie et le champ de vitesse sont différents.

Comprendre les compromis

La loi de Stokes a une plage de nombre de Reynolds limitée

La relation (6\pi\mu R U) est valide lorsque (Re_p\ll 1). À mesure que le nombre de Reynolds augmente, l'inertie devient importante et la traînée n'est plus strictement proportionnelle à la vitesse.

À des nombres de Reynolds plus élevés, la formation de sillage, le décollement de l'écoulement et la traînée de pression inertielle peuvent modifier considérablement à la fois la traînée totale et la répartition pression-cisaillement.

La forme de la particule compte

La répartition un tiers pression et deux tiers cisaillement s'applique à une sphère idéale, lisse et rigide dans un fluide newtonien par ailleurs illimité. Les particules irrégulières, les fibres, les gouttelettes et les particules biologiques peuvent avoir des coefficients de traînée et des distributions de contraintes différents.

Près d'une paroi, à l'intérieur d'un canal étroit ou parmi des particules voisines, les frontières environnantes modifient l'écoulement et augmentent ou altèrent la traînée.

Les propriétés du fluide doivent être appliquées de manière cohérente

La viscosité (\mu) doit être évaluée dans les conditions de température et de composition pertinentes. Pour les fluides non newtoniens, un calcul de la loi de Stokes à viscosité constante unique peut ne pas représenter avec précision le champ de contraintes à l'échelle de la particule.

Le fluide doit également être suffisamment continu à l'échelle de la particule pour que la mécanique des milieux continus s'applique. Les particules très petites dans des régimes raréfiés ou à micro-échelle peuvent nécessiter des corrections au-delà du résultat classique.

La pression et le cisaillement ne sont pas des systèmes d'écoulement indépendants

La pression et le cisaillement sont séparés mathématiquement pour identifier leurs contributions à la force intégrée. Ce sont des parties physiquement couplées de la même solution d'écoulement autour de la sphère.

La distribution de pression et les gradients de vitesse en surface doivent donc être dérivés du champ complet d'écoulement rampant plutôt qu'estimés indépendamment à partir de corrélations d'équipements non liées.

Appliquer ceci à votre projet

Utilisez l'approche suivante lors de l'analyse d'une expérience sur une particule sphérique :

Si votre objectif principal est la traînée totale de la particule : Calculez (F_D=6\pi\mu R U) en utilisant la viscosité du fluide, le rayon de la particule et la vitesse relative particule-fluide.
Si votre objectif principal est la contribution de la force de pression : Utilisez (F_{D,p}=2\pi\mu R U=F_D/3), en reconnaissant qu'il s'agit d'une contribution de pression d'écoulement visqueux plutôt que d'une traînée de forme inertielle à nombre de Reynolds élevé.
Si votre objectif principal est la contribution du frottement de surface : Utilisez (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U=2F_D/3), qui représente la contrainte de cisaillement tangentielle intégrée sur la surface de la particule.
Si votre objectif principal est de valider une expérience en usine pilote : Confirmez (Re_p\ll1), distinguez la traînée à l'échelle de la particule de la chute de pression à l'échelle de l'équipement, et tenez compte des parois, des particules voisines et du comportement non newtonien.

Pour une sphère idéale en écoulement rampant, le résultat directeur est clair : un tiers de la traînée hydrodynamique provient des forces de pression et deux tiers proviennent des contraintes de cisaillement visqueux.

Tableau récapitulatif :

Aspect clé	Résultat
Régime d'écoulement	Écoulement rampant, où le nombre de Reynolds de la particule (Re_p \ll 1)
Traînée totale	(F_D = 6\pi\mu R U)
Contribution de la pression	(F_{D,p} = 2\pi\mu R U), ou 1/3 (33,3 %)
Contribution du cisaillement	(F_{D,\tau} = 4\pi\mu R U), ou 2/3 (66,7 %)
Rapport de contribution	Pression : cisaillement = 1 : 2
Applications principales	Sédimentation, clarification, décantation des particules et expériences pédagogiques en hydrodynamique

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