La contrainte totale du fluide est séparée en une contrainte de pression isotrope et une contrainte visqueuse déviatorique. Dans la convention de signe habituelle de la mécanique des milieux continus, le tenseur des contraintes de Cauchy s’écrit (\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}), où (p) est la pression statique ou thermodynamique et (\boldsymbol{\tau}) est le tenseur des contraintes visqueuses. Cette décomposition permet aux modèles d’unités pilotes de distinguer les forces dues aux gradients de pression, qui transportent et accélèrent le fluide, des contraintes visqueuses, qui représentent le transfert de quantité de mouvement provoqué par la déformation.

L’idée essentielle est que la pression agit de manière égale dans toutes les directions, tandis que la contrainte visqueuse dépend des gradients de vitesse. Leur divergence combinée apparaît dans le bilan de la quantité de mouvement et détermine la perte de charge, le frottement aux parois, le couple de mélange et la distribution de l’écoulement.

Signification de la décomposition des contraintes

La contrainte totale comprend les effets de la pression et de la viscosité

La contrainte totale agissant sur un élément fluide est représentée par le tenseur des contraintes de Cauchy :

[ \boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

Ici, (\mathbf{I}) est le tenseur identité, (-p\mathbf{I}) est la contribution de pression isotrope et (\boldsymbol{\tau}) est la contribution visqueuse ou déviatorique.

Le signe négatif suit la convention courante selon laquelle une pression positive est compressive, tandis qu’une contrainte normale de traction est positive.

La pression constitue la partie isotrope

La pression contribue à la même contrainte normale dans les directions (x), (y) et (z) :

[ \sigma_{xx}^{(p)}=\sigma_{yy}^{(p)}=\sigma_{zz}^{(p)}=-p ]

Elle ne crée pas de contrainte de cisaillement, car un champ de pression isotrope ne possède aucune direction privilégiée.

Pour un tenseur général des contraintes, la pression thermodynamique est liée à la contrainte normale moyenne par :

[ p=-\frac{1}{3} \left( \sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz} \right) ]

La contrainte visqueuse constitue alors la partie déviatorique restante :

[ \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\sigma}+p\mathbf{I} ]

Par conséquent, le tenseur des contraintes visqueuses a une trace nulle :

[ \tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz}=0 ]

Cette condition de trace nulle fait du tenseur visqueux une contribution de contrainte déviatorique plutôt que volumique.

Introduction de la décomposition dans l’équation de la quantité de mouvement

Point de départ : le bilan général de la quantité de mouvement

Le bilan local de la quantité de mouvement linéaire s’écrit :

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} ]

où (\rho) est la masse volumique, (\mathbf{v}) est la vitesse, (D/Dt) est la dérivée matérielle et (\mathbf{f}) représente les forces volumiques telles que la gravité par unité de volume.

En substituant (\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}), on obtient :

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}

\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

Il s’agit de la forme pression-viscosité de l’équation de la quantité de mouvement de Cauchy.

Les gradients de pression entraînent le transport global

Le terme

[ -\nabla p ]

représente la force générée par les variations spatiales de la pression statique. Dans une conduite à l’échelle pilote, par exemple, une perte de pression imposée accélère le fluide à travers le réseau.

Dans un liquide statique soumis à la gravité, la pression varie avec l’altitude. Avec (z) mesuré vers le haut :

[ \nabla p=\rho\mathbf{g} ]

où (\mathbf{g}) est orienté vers le bas. Ce champ de pression hydrostatique équilibre la gravité lorsque le fluide est au repos.

Les contraintes visqueuses s’opposent à la déformation

Le terme

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

représente la force visqueuse nette résultant de la variation spatiale des contraintes visqueuses. Il est responsable d’effets tels que le frottement aux parois, le développement du profil de vitesse et la diffusion de la quantité de mouvement entre couches fluides adjacentes.

La pression peut exister dans un fluide au repos, mais la contrainte visqueuse nécessite généralement des gradients de vitesse ou une déformation, à l’exception d’effets constitutifs spécialisés dans des matériaux plus complexes.

Relation entre la contrainte visqueuse et la vitesse

Relation pour un fluide newtonien

Pour un fluide newtonien isotrope, la contrainte visqueuse est linéairement liée au tenseur du taux de déformation :

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

où

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

Ici, (\mu) est la viscosité dynamique et (\lambda) est le deuxième coefficient de viscosité associé à la déformation volumique.

Pour un fluide incompressible,

[ \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

la relation constitutive se réduit donc à :

[ \boldsymbol{\tau}

\mu \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

L’équation de la quantité de mouvement prend alors la forme newtonienne familière, sous réserve des hypothèses retenues concernant la viscosité et la masse volumique constantes.

Les contraintes de cisaillement proviennent des gradients de vitesse

Pour un écoulement simple dans la direction (x), avec une vitesse variant selon (y), la contrainte de cisaillement visqueuse dominante est :

[ \tau_{xy}

\mu\frac{\partial u}{\partial y} ]

Cette relation est directement pertinente pour les écoulements en conduite, les cuves agitées, les couches limites et les canaux d’écoulement des unités pilotes.

Le même gradient qui produit le cisaillement pariétal contribue également à la perte de pression et aux besoins en puissance de pompage.

Des contraintes visqueuses normales peuvent également apparaître

Les effets visqueux ne se limitent pas aux composantes de cisaillement. Dans les écoulements accélérés, convergents, divergents ou en extension, les composantes diagonales de (\boldsymbol{\tau}) peuvent être importantes.

Pour un écoulement newtonien incompressible, ces contraintes visqueuses normales sont liées aux gradients de vitesse normaux tout en respectant la condition de trace nulle du tenseur déviatorique.

Application de la décomposition aux équipements d’unités pilotes

Réseaux de tuyauteries et canaux d’écoulement

Dans les conduites, les gradients de pression fournissent la principale force motrice, tandis que les contraintes visqueuses transfèrent la quantité de mouvement aux parois. Le bilan qui en résulte détermine le profil de vitesse et la perte de pression.

Pour un écoulement turbulent à l’échelle pilote, la contrainte modélisée comprend à la fois la viscosité moléculaire et l’effet des fluctuations de vitesse. Les contraintes de Reynolds sont généralement représentées par :

[ \tau_{xy}^{t}

-\rho\overline{u'v'} ]

où (u') et (v') sont les composantes fluctuantes de la vitesse.

Cuves de mélange et réacteurs

Dans une cuve agitée, la pression contribue au champ global des forces et à la distribution hydrostatique. La contrainte visqueuse contrôle la dissipation locale d’énergie, l’exposition au cisaillement et le couple nécessaire à l’agitateur.

Pour les contenus de réacteurs non newtoniens, la viscosité locale peut varier avec le taux de déformation. La décomposition des contraintes reste valable, mais le modèle constitutif de (\boldsymbol{\tau}) devient non linéaire.

Colonnes de séparation et équipements gravitaires

Dans les colonnes de sédimentation, les décanteurs et les équipements de flottation, la pression hydrostatique varie avec la profondeur et contribue à déterminer le comportement de l’interface entre phases et des niveaux. Les contraintes visqueuses régissent la résistance à la sédimentation, le mouvement interfacial et l’écoulement près des parois.

Le champ de pression et le champ visqueux ont donc des fonctions différentes dans la modélisation : la pression établit la distribution des forces normales, tandis que la contrainte visqueuse décrit le transfert de quantité de mouvement lié à la déformation.

Échangeurs de chaleur et unités d’écoulement thermique

Dans les canaux des échangeurs de chaleur, le cisaillement pariétal et la perte de pression sont liés au champ des gradients de vitesse. La même structure d’écoulement influence la couche limite thermique et le transfert convectif de chaleur.

À des nombres de Reynolds élevés, le transport turbulent de la quantité de mouvement peut largement dépasser le transport visqueux moléculaire. Un modèle de turbulence doit donc prendre en compte cette contrainte apparente supplémentaire.

Comprendre les compromis

La pression n’est pas identique à la contrainte normale totale

Une erreur courante de modélisation consiste à considérer toute contrainte normale comme une pression statique. Dans les écoulements compressibles, en extension, fortement accélérés ou non newtoniens, les contraintes visqueuses normales peuvent être importantes.

La pression est la partie isotrope de l’état de contrainte ; les contraintes normales restantes appartiennent au tenseur déviatorique.

La contrainte turbulente est modélisée, et non la viscosité moléculaire

Dans un écoulement turbulent, l’équation moyennée dans le temps de la quantité de mouvement contient les contraintes de Reynolds générées par les fluctuations de vitesse. Ces contraintes ne sont pas identiques aux contraintes visqueuses moléculaires, bien que les modèles de turbulence représentent souvent leur effet net au moyen d’une viscosité effective ou turbulente.

L’utilisation de la seule viscosité moléculaire peut sous-estimer le frottement aux parois, la perte de pression, les besoins de mélange et la puissance de pompage dans les équipements pilotes turbulents.

Les conventions de signe doivent rester cohérentes

Certaines références définissent le tenseur total des contraintes en utilisant la pression compressive comme (+p\mathbf{I}), tandis que d’autres utilisent (-p\mathbf{I}). Les deux conventions peuvent convenir, mais l’équation de la quantité de mouvement et les définitions des contraintes normales doivent utiliser la même convention partout.

La forme standard en ingénierie est :

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

L’incompressibilité n’élimine pas toutes les contraintes visqueuses

Pour un fluide incompressible, (\nabla\cdot\mathbf{v}=0) supprime le terme de dilatation volumique de l’équation constitutive newtonienne. Elle n’élimine ni la contrainte de cisaillement ni les contraintes déviatoriques normales causées par d’autres gradients de vitesse.

Les fluides non newtoniens nécessitent une loi constitutive adaptée

Pour les solutions polymères, les suspensions concentrées et les bouillons de fermentation, la viscosité peut dépendre de l’intensité du taux de déformation. Un modèle généralisé peut s’écrire :

[ \boldsymbol{\tau}

\mu(\Gamma) \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

où (\Gamma) caractérise le taux de déformation local.

La décomposition pression-viscosité reste applicable, mais la contrainte visqueuse doit être calculée à l’aide du comportement rhéologique mesuré du fluide.

Comment appliquer cela à votre projet

La décomposition correcte dépend de l’équipement, du régime d’écoulement et du modèle de fluide utilisé.

Si votre objectif principal est la perte de pression dans les tuyauteries : Calculez séparément la contribution du gradient de pression et les contraintes visqueuses pariétales et globales, et incluez les contraintes de Reynolds turbulentes lorsque l’écoulement est turbulent.
Si votre objectif principal est le mélange ou la conception d’un réacteur : Utilisez le champ des contraintes visqueuses pour évaluer le couple de l’agitateur, la dissipation locale d’énergie et l’exposition au cisaillement, tout en conservant la pression pour le bilan global des forces et l’équilibre hydrostatique.
Si votre objectif principal est un équipement de séparation : Utilisez la pression hydrostatique pour établir la charge normale dépendant de la profondeur et les contraintes visqueuses pour modéliser la sédimentation, le mouvement interfacial et la traînée.
Si votre objectif principal est le traitement de fluides non newtoniens : Conservez la décomposition de la pression inchangée, mais sélectionnez une loi constitutive reliant la contrainte déviatorique à la viscosité dépendant du taux de déformation mesuré.
Si votre objectif principal est un fonctionnement transitoire ou turbulent : Distinguez la contrainte visqueuse moléculaire de la contrainte turbulente modélisée afin de ne pas sous-estimer la perte de pression et le transport de quantité de mouvement.

La séparation de la pression isotrope et de la contrainte dépendant de la déformation fournit aux modèles d’unités pilotes une base physique claire pour prévoir l’écoulement, le frottement, le mélange, la séparation et le comportement lors du changement d’échelle.

Tableau récapitulatif :

Composante de la contrainte	Signification physique	Rôle principal dans la modélisation	Applications dans les unités pilotes
Pression statique	Contrainte normale isotrope agissant de manière égale dans toutes les directions	Entraîne l’écoulement et établit la charge hydrostatique	Tuyauteries, canaux, colonnes, décanteurs
Contrainte visqueuse moléculaire	Contrainte déviatorique causée par les gradients de vitesse	Modélise le frottement aux parois, la diffusion de la quantité de mouvement et la déformation	Pompes, échangeurs de chaleur, cuves agitées
Contrainte de Reynolds turbulente	Transport de quantité de mouvement causé par les fluctuations de vitesse	Représente une contrainte apparente supplémentaire dans un écoulement turbulent	Tuyauteries à fort débit, mélange, changement d’échelle
Contrainte non newtonienne	Contrainte déviatorique dépendant du taux de déformation et fondée sur la rhéologie du fluide	Prévoit le cisaillement, le couple et le comportement d’écoulement des fluides complexes	Solutions polymères, suspensions, bouillons de fermentation

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