Pour un écoulement laminaire pleinement développé dans une conduite circulaire, la perte de charge et la distribution de vitesse se calculent à partir de la solution de Hagen–Poiseuille. Lorsque le nombre de Reynolds est inférieur à environ 2 300, la vitesse moyenne et la perte de charge par frottement sont liées linéairement : (\Delta P = 32\mu L\bar{u}/D^2). Le profil de vitesse est parabolique, avec une vitesse sur l’axe égale à deux fois la vitesse moyenne sur la section.

À retenir : Dans un écoulement laminaire en conduite d’installation pilote, la viscosité contrôle la perte de charge, et la rugosité de la paroi n’a pas d’effet direct sur le facteur de friction en régime pleinement développé. Une fois la perte de charge, les dimensions de la conduite et les propriétés du fluide connues, la vitesse d’écoulement peut être calculée directement sans itérer sur une corrélation de facteur de friction turbulent.

Établir les bases de l’écoulement laminaire

Calculer le nombre de Reynolds

Le régime d’écoulement est identifié à l’aide du nombre de Reynolds de la conduite :

[ Re=\frac{\rho \bar{u}D}{\mu} ]

où :

(\rho) est la masse volumique du fluide,
(\bar{u}) est la vitesse moyenne dans la conduite,
(D) est le diamètre intérieur de la conduite,
(\mu) est la viscosité dynamique.

Pour les conduites circulaires, l’écoulement est généralement considéré comme laminaire lorsque (Re<2{,}300). La zone de transition n’est pas précisément définie : les installations pilotes doivent donc éviter de s’appuyer sur une valeur limite lorsque la stabilité du fonctionnement est importante.

Confirmer l’hypothèse d’un écoulement pleinement développé

Les équations de Hagen–Poiseuille s’appliquent après le développement du profil de vitesse en aval d’une entrée, d’un raccord, d’une vanne, d’une pompe ou de toute autre perturbation.

À proximité de l’entrée et en aval des raccords, l’écoulement peut être en cours de développement ou perturbé localement. Ces zones nécessitent des estimations distinctes des pertes à l’entrée ou dans les raccords et ne doivent pas être représentées uniquement par l’équation de conduite en régime pleinement développé.

Calculer la distribution de vitesse

Utiliser le profil parabolique

Pour une conduite de rayon (R=D/2), la vitesse axiale à la position radiale (r) est :

[ u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) ]

Sur l’axe, (r=0), donc :

[ u_{\max}=u(0) ]

À la paroi, (r=R), la condition de non-glissement donne :

[ u(R)=0 ]

Ce profil est la distribution de vitesse caractéristique d’un écoulement laminaire pleinement développé dans une conduite circulaire.

Relier la vitesse sur l’axe à la vitesse moyenne

La vitesse moyenne sur la section est :

[ \bar{u}=\frac{1}{A}\int_A u,dA ]

Pour le profil parabolique, l’intégration donne :

[ u_{\max}=2\bar{u} ]

La distribution de vitesse peut donc également s’écrire :

[ u(r)=2\bar{u}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) ]

Le profil est maximal au centre et diminue continûment jusqu’à zéro à la paroi.

Convertir la vitesse en débit volumique

Une fois la vitesse moyenne connue, le débit volumique est :

[ Q=\bar{u}A ]

Pour une conduite circulaire :

[ Q=\bar{u}\frac{\pi D^2}{4} ]

La vitesse sur l’axe ne doit pas être utilisée comme vitesse moyenne d’écoulement dans un calcul de pompe, de dimensionnement de conduite ou de débit. Utiliser directement (u_{\max}) surestimerait le débit d’un facteur deux.

Calculer la perte de charge

Utiliser l’équation de Hagen–Poiseuille

Pour une conduite circulaire droite transportant un fluide newtonien en régime laminaire pleinement développé :

[ \Delta P_f=\frac{32\mu L\bar{u}}{D^2} ]

De manière équivalente, en fonction du débit volumique :

[ \Delta P_f=\frac{128\mu LQ}{\pi D^4} ]

où (\Delta P_f) est la perte de charge par frottement et (L) est la longueur de la conduite.

Ces équations montrent le comportement essentiel de l’écoulement laminaire :

[ \Delta P_f\propto \bar{u} ]

La perte de charge est directement proportionnelle à la vitesse moyenne, contrairement à la relation approximativement quadratique couramment utilisée pour un écoulement pleinement turbulent.

Calculer le gradient de pression

La perte de charge par unité de longueur de conduite est :

[ -\frac{dP}{dz}=\frac{32\mu\bar{u}}{D^2} ]

Pour une conduite uniforme, le gradient de pression est constant le long de la section en régime pleinement développé.

Le signe négatif indique que la pression diminue dans le sens de l’écoulement. Dans les calculs d’ingénierie, (\Delta P_f) est généralement indiqué comme une valeur positive représentant l’amplitude de la perte.

Utiliser la forme avec le facteur de friction

Avec le facteur de friction de Darcy, généralement noté (\lambda) :

[ \lambda=\frac{64}{Re} ]

L’équation de perte de charge de Darcy–Weisbach est :

[ \Delta P_f=\lambda\frac{L}{D}\frac{\rho\bar{u}^2}{2} ]

En remplaçant (\lambda=64/Re) et (Re=\rho\bar{u}D/\mu), on obtient :

[ \Delta P_f

\frac{32\mu L\bar{u}}{D^2} ]

Ainsi, les formes avec facteur de friction et de Hagen–Poiseuille sont équivalentes lorsque la même convention de facteur de friction est utilisée.

Distinguer les facteurs de Darcy et de Fanning

Le résultat (\lambda=64/Re) s’applique au facteur de friction de Darcy.

Le facteur de friction de Fanning correspondant est :

[ f_F=\frac{16}{Re} ]

Confondre ces deux définitions entraîne une erreur d’un facteur quatre dans le calcul de la perte de charge. La documentation de l’installation pilote doit préciser la convention utilisée.

Calculer la vitesse à partir d’une perte de charge imposée

Calculer directement la vitesse en régime laminaire

En réorganisant l’équation de Hagen–Poiseuille, on obtient :

[ \bar{u}=\frac{\Delta P_fD^2}{32\mu L} ]

Le débit volumique correspondant est :

[ Q=\frac{\pi D^2}{4}\bar{u} ]

ou :

[ Q=\frac{\pi D^4\Delta P_f}{128\mu L} ]

Cette solution directe est une caractéristique importante de l’écoulement laminaire. La perte de charge ne nécessite pas de calcul itératif du facteur de friction, car celui-ci a déjà été réduit à la relation explicite (64/Re).

Vérifier le nombre de Reynolds obtenu

Après avoir calculé (\bar{u}), évaluer :

[ Re=\frac{\rho\bar{u}D}{\mu} ]

Le résultat doit rester dans la plage laminaire visée. Si la valeur calculée s’approche de la zone de transition ou la dépasse, le résultat de Hagen–Poiseuille ne suffit plus pour une conception fiable.

Utiliser le groupement de perte de charge lorsque le régime est incertain

Pour des calculs plus généraux d’écoulement en conduite, on peut former un groupement indépendant de la vitesse :

[ \phi Re^2= \frac{\Delta P_fD^3\rho}{4L\mu^2} ]

L’interprétation exacte de (\phi) dépend de la notation du facteur de friction utilisée par la source ou le diagramme. Sa définition doit donc être vérifiée avant d’utiliser un diagramme de friction.

Dans le cas confirmé d’un écoulement laminaire en conduite circulaire, l’utilisation directe de :

[ \bar{u}=\frac{\Delta P_fD^2}{32\mu L} ]

est plus claire et moins sujette aux erreurs que la lecture de (Re) sur un diagramme généralisé.

Relier le calcul au fonctionnement de l’installation pilote

Déterminer la hauteur manométrique de la pompe

La perte de charge par frottement peut être convertie en hauteur de perte de charge :

[ h_f=\frac{\Delta P_f}{\rho g} ]

où (g) est l’accélération gravitationnelle.

La pompe doit également compenser les variations d’altitude, les différences de pression entre les équipements, les raccords, les vannes, les échangeurs thermiques et les autres pertes du système. La perte de charge de Hagen–Poiseuille dans une conduite droite ne constitue qu’une composante de l’exigence totale de la pompe.

Tenir compte des propriétés du fluide

La perte de charge laminaire dépend fortement de la viscosité dynamique :

[ \Delta P_f\propto\mu ]

Les variations de température peuvent donc modifier considérablement la perte de charge, en particulier pour les liquides visqueux. Les calculs d’installation pilote doivent utiliser la viscosité à la température réelle de fonctionnement plutôt qu’une valeur par défaut ou une valeur à température ambiante.

Utiliser le diamètre intérieur de la conduite

Comme la perte de charge varie en (D^{-2}) pour une vitesse moyenne donnée, et selon (D^{-4}) dans la formulation en débit, de petites erreurs de diamètre peuvent modifier sensiblement le résultat.

Le diamètre intérieur doit tenir compte de la spécification réelle du tube ou de la conduite, du revêtement, de la surépaisseur de corrosion le cas échéant, ainsi que des éventuelles restrictions créées par les raccords ou l’instrumentation.

Comparer les valeurs mesurées et prédites

Une installation pilote offre une occasion utile de valider le modèle au moyen de prises de pression et d’un débitmètre.

La comparaison doit tenir compte de l’espacement des prises de pression, de l’altitude, de l’étalonnage des instruments, des raccords présents dans la section mesurée, des effets d’un écoulement en développement et des variations de température du fluide. Une différence de pression mesurée sur un module complet peut inclure bien davantage que le frottement dans une conduite droite.

Comprendre les compromis

Le modèle suppose un comportement newtonien

L’équation de Hagen–Poiseuille utilise une viscosité dynamique constante. Elle convient aux liquides newtoniens lorsque la viscosité est suffisamment bien caractérisée.

Les solutions polymères, les boues, les émulsions et les autres fluides non newtoniens peuvent nécessiter un modèle rhéologique et une relation différente entre la perte de charge et le débit.

L’écoulement pleinement développé exclut les pertes locales

Les vannes, coudes, tés, réductions, entrées, sorties et débitmètres créent des pertes de pression locales. Celles-ci sont généralement représentées par des coefficients de perte :

[ \Delta P_{\text{minor}}=K\frac{\rho\bar{u}^2}{2} ]

La perte de charge totale du système est donc :

[ \Delta P_{\text{total}}

\Delta P_f+\sum\Delta P_{\text{minor}}+\Delta P_{\text{elevation}}+\Delta P_{\text{equipment}} ]

L’équation de conduite en régime pleinement développé ne doit pas être utilisée pour intégrer tous ces effets sans réserves.

La rugosité n’est pas une correction laminaire de premier ordre

Pour un écoulement laminaire pleinement développé, le facteur de friction est :

[ \lambda=\frac{64}{Re} ]

et il est indépendant de la rugosité relative dans le modèle d’ingénierie habituel. La rugosité peut toutefois intervenir par l’intermédiaire de défauts de fabrication, de l’encrassement, des dépôts ou de perturbations qui invalident l’hypothèse idéalisée d’une conduite lisse et d’un écoulement pleinement développé.

La transition introduit une incertitude

L’intervalle proche de la transition du régime laminaire au régime turbulent est sensible aux perturbations et aux conditions de fonctionnement. Une installation pilote peut présenter un comportement différent de celui prévu par une corrélation idéale en raison des pulsations de la pompe, des raccords en amont, de la recirculation ou de l’évolution des propriétés du fluide.

Les conceptions doivent éviter de considérer un nombre de Reynolds transitionnel comme définitivement laminaire ou turbulent.

Comment appliquer ces principes à votre installation pilote

Utilisez la séquence suivante lors de l’évaluation d’une section de conduite circulaire :

Si votre objectif principal est de prévoir la perte de charge : calculez (Re), confirmez l’écoulement laminaire pleinement développé et utilisez (\Delta P_f=32\mu L\bar{u}/D^2).
Si votre objectif principal est de déterminer la vitesse à partir d’une perte de charge connue : utilisez (\bar{u}=\Delta P_fD^2/(32\mu L)), puis vérifiez le nombre de Reynolds obtenu.
Si votre objectif principal est de déterminer le débit volumique : convertissez la vitesse moyenne avec (Q=\bar{u}\pi D^2/4), en utilisant le diamètre intérieur réel.
Si votre objectif principal est de sélectionner une pompe : additionnez le frottement dans les conduites droites, les pertes dans les raccords, les pertes des équipements, les variations d’altitude et la pression requise en aval.
Si votre objectif principal est la validation expérimentale : mesurez la pression sur une longueur connue de conduite droite et comparez le gradient de pression avec (32\mu\bar{u}/D^2).
Si votre objectif principal concerne un fonctionnement non newtonien ou transitionnel : considérez le résultat de Hagen–Poiseuille comme une référence limitée et utilisez un modèle adapté au fluide et au régime d’écoulement.

Avec les propriétés correctes du fluide, les dimensions de la conduite, le régime d’écoulement et les limites du système, l’écoulement laminaire dans une installation pilote peut être calculé directement et interprété avec confiance.

Tableau récapitulatif :

Calcul	Formule	Remarque d’ingénierie essentielle
Nombre de Reynolds	`Re = rho u-bar D / mu`	L’écoulement laminaire correspond généralement à `Re < 2,300`.
Profil de vitesse	`u(r) = 2u-bar[1 - (r/R)^2]`	Le profil est parabolique ; la vitesse à la paroi est nulle.
Vitesse sur l’axe	`u-max = 2u-bar`	N’utilisez pas la vitesse sur l’axe comme vitesse moyenne d’écoulement.
Perte de charge	`Delta P-f = 32muL u-bar / D^2`	Valable pour un fluide newtonien et un écoulement laminaire pleinement développé.
Forme en débit	`Delta P-f = 128muLQ / (piD^4)`	De faibles variations du diamètre intérieur peuvent modifier considérablement la perte.
Facteur de friction de Darcy	`lambda = 64/Re`	Ne le confondez pas avec le facteur de Fanning, `16/Re`.
Hauteur de perte par frottement de la pompe	`h-f = Delta P-f / (rho g)`	Ajoutez les pertes dans les raccords et les équipements, les variations d’altitude et les pertes liées à la pression requise.
Limites de fonctionnement	Valider la température, la rhéologie et les effets de transition	Un écoulement non newtonien, en développement ou transitionnel nécessite une analyse complémentaire.

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