Les équations de bilan de matière indépendantes sont établies en écrivant une équation de conservation pour chaque espèce ou composant distinct et suivi indépendamment. Pour une opération de séparation cellulaire ou de mélange de gaz à trois composants, cela donne trois bilans de composants indépendants, par exemple des bilans sur les cellules, le milieu dissous et un autre soluté, ou sur trois espèces gazeuses. Un bilan massique ou molaire total peut également être écrit, mais il n’est que la somme de ces bilans de composants et ne constitue donc pas une équation indépendante supplémentaire.

Le nombre de bilans de matière indépendants est déterminé par le nombre de composants conservés distincts, et non par le nombre de courants ou par la possibilité d’écrire des bilans sommés supplémentaires. Ces bilans doivent être combinés avec les spécifications de procédé et les contraintes sur les courants jusqu’à ce que le nombre d’équations indépendantes corresponde au nombre d’inconnues.

Commencer par des frontières de système clairement définies

Définir l’opération unitaire

Délimitez une frontière autour de l’équipement ou de la section de procédé analysé.

Pour un système pilote de séparation cellulaire, la frontière peut englober une centrifugeuse, un séparateur membranaire ou une unité de filtration. Pour un système de mélange de gaz, elle peut englober le collecteur de mélange et inclure chaque entrée ainsi que la sortie combinée.

Seuls les courants traversant cette frontière apparaissent dans les équations de bilan.

Séparer les bilans globaux et les bilans locaux

Un bilan global autour d’une installation pilote complète comprend les courants d’alimentation et de produit externes, mais exclut les courants internes reliant les unités entre elles.

Un bilan local autour d’un séparateur, d’un mélangeur, d’une jonction ou d’un point de division comprend les courants entrant dans ce sous-système et en sortant. Les bilans locaux sont souvent nécessaires pour déterminer les débits et les compositions des courants internes.

Choisir une base de calcul

La base peut être un intervalle de temps spécifié, par exemple une heure de fonctionnement continu, ou une quantité fixe d’alimentation.

En régime permanent, l’accumulation est nulle, donc chaque bilan de composant a la forme générale :

[ \text{Entrée du composant}=\text{Sortie du composant} ]

En régime transitoire, l’accumulation doit être incluse :

[ \text{Entrée}-\text{Sortie}=\text{Accumulation} ]

Écrire un bilan pour chaque composant indépendant

Identifier les composants conservés

Listez les espèces ou catégories de matière dont les quantités doivent être suivies indépendamment.

Exemples :

Cellules, milieu et soluté dissous dans un procédé de séparation cellulaire
Oxygène, azote et dioxyde de carbone dans un procédé de mélange de gaz
Solvant et soluté dans une opération de dilution ou de concentration

Les catégories doivent être suffisamment distinctes pour que la quantité de l’une ne puisse pas être calculée uniquement à partir des quantités des autres.

Utiliser les débits de composants comme variables

Pour le courant (s) et le composant (i), définissez un débit de composant tel que :

[ F_{i,s} ]

Le bilan du composant (i) à travers une unité en régime permanent est :

[ \sum_{\text{entrées}} F_{i,s}

\sum_{\text{sorties}} F_{i,s} ]

Écrire les bilans en termes de débits de composants maintient la linéarité des équations lorsque les relations de procédé sont linéaires.

Exemple : séparateur à trois composants

Supposons qu’un séparateur reçoive un courant d’alimentation (F) et produise les courants (P) et (W), contenant les composants (A), (B) et (C).

Les bilans indépendants sont :

[ F_A=P_A+W_A ]

[ F_B=P_B+W_B ]

[ F_C=P_C+W_C ]

Ces équations imposent indépendamment la conservation des trois composants.

Un bilan total peut également être écrit :

[ F_A+F_B+F_C

P_A+P_B+P_C+W_A+W_B+W_C ]

Cependant, cette équation totale est obtenue en additionnant les trois équations de composants. Elle est mathématiquement dépendante et ne peut pas être comptée comme un quatrième bilan indépendant.

Ajouter des spécifications et des contraintes sur les courants

Utiliser les relations connues de séparation ou de mélange

Les bilans de composants seuls peuvent ne pas déterminer chaque variable inconnue de courant.

Des relations indépendantes supplémentaires peuvent inclure :

Un taux de récupération cellulaire spécifié dans le courant produit
Une fraction de partage connue pour un composant gazeux
Une concentration de sortie cible
Un rapport prédéfini entre deux débits d’entrée
Une pureté ou une efficacité d’élimination connue
Un débit total mesuré

Par exemple, un séparateur cellulaire avec une récupération (R) peut utiliser :

[ P_{\text{cellules}}=R F_{\text{cellules}} ]

Un mélangeur de gaz avec une fraction molaire de sortie spécifiée peut utiliser :

[ y_{\mathrm{CO_2},sortie}=y_{\mathrm{CO_2},cible} ]

Ce sont des spécifications de procédé, et non des lois de conservation supplémentaires.

Imposer les contraintes de somme des fractions

Si un courant est décrit à l’aide de fractions massiques ou molaires, la somme des fractions doit être égale à un :

[ \sum_i w_{i,s}=1 ]

[ \sum_i y_{i,s}=1 ]

Pour un courant à trois composants :

[ w_A+w_B+w_C=1 ]

Cette contrainte est nécessaire lorsque les variables de composition sont inconnues. C’est une condition de normalisation physique, et non un quatrième bilan de composant.

Distinguer les relations indépendantes des relations redondantes

Une relation n’apporte une information utile que si elle ne peut pas être dérivée des équations déjà incluses.

Par exemple, le bilan total est redondant lorsque tous les bilans de composants sont présents. De même, spécifier deux des trois fractions molaires peut déjà déterminer la troisième par la contrainte de somme des fractions.

L’objectif n’est pas de maximiser le nombre d’équations écrites. Il est d’obtenir le nombre correct d’équations indépendantes.

Vérifier l’indépendance et les degrés de liberté

Former la matrice des coefficients

Lorsque les équations sont linéaires, écrivez-les sous forme matricielle :

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

Ici, (\mathbf{x}) contient les inconnues : débits de composants, débits totaux ou variables de composition.

Le rang de (A) donne le nombre d’équations indépendantes représentées par le système. Si une ligne est une combinaison linéaire des autres lignes, elle n’augmente pas le rang.

Effectuer une analyse des degrés de liberté

Calculez :

[ \text{Degrés de liberté}

\text{nombre d’inconnues}

\text{nombre d’équations indépendantes} ]

Un modèle entièrement spécifié a généralement zéro degré de liberté.

Des degrés de liberté positifs signifient que des mesures ou spécifications supplémentaires sont nécessaires.
Un degré de liberté nul indique un modèle exactement spécifié.
Des degrés de liberté négatifs indiquent la présence possible d’informations redondantes ou contradictoires.

Vérifier le modèle avant de résoudre

Un solveur peut renvoyer un résultat numérique même lorsque le modèle est mal formulé, surtout si les données sont arrondies ou si les équations sont presque dépendantes.

Vérifiez le rang de la matrice, les erreurs résiduelles et la faisabilité physique de la solution. Les débits et les concentrations ne doivent pas être négatifs, sauf si la définition de la variable autorise explicitement des quantités signées.

Appliquer la méthode aux systèmes pilotes typiques

Systèmes de séparation cellulaire

Traitez la population cellulaire comme un composant conservé séparément lorsque les cellules ne sont ni créées ni détruites dans le séparateur.

Pour un séparateur avec des courants d’alimentation, de concentré cellulaire et de liquide clarifié, un bilan cellulaire peut être écrit comme suit :

[ F_{\text{cellules}}

P_{\text{cellules}}+W_{\text{cellules}} ]

Des bilans supplémentaires peuvent suivre les solutés dissous, les solides en suspension ou le solvant, selon le modèle visé.

Si l’opération provoque une croissance cellulaire, une mort, une lyse ou une réaction chimique, les termes de source ou de perte correspondants doivent être inclus. Un simple bilan de séparateur n’est valable que lorsque ces effets sont négligeables ou délibérément exclus.

Systèmes de mélange de gaz

Pour un mélange de gaz non réactif, écrivez un bilan molaire pour chaque espèce gazeuse.

Pour l’espèce (i) :

[ \sum_k F_{i,k}=F_{i,sortie} ]

Si l’entrée (k) a un débit molaire total (F_k) et une fraction molaire (y_{i,k}), alors :

[ F_{i,k}=F_k y_{i,k} ]

La composition de sortie est obtenue à partir de :

[ y_{i,sortie}

\frac{\sum_k F_k y_{i,k}}{\sum_k F_k} ]

Les fractions molaires de sortie doivent également satisfaire :

[ \sum_i y_{i,sortie}=1 ]

Cette dernière relation est une contrainte de cohérence et dépend de l’ensemble complet des bilans de composants ainsi que de la définition du débit total de sortie.

Unités multiples connectées

Pour un système contenant des mélangeurs, des séparateurs, des réacteurs et des diviseurs, établissez les bilans au niveau nécessaire pour répondre à la question posée.

Utilisez une frontière globale pour vérifier la conservation d’ensemble, et utilisez des frontières d’unités individuelles pour déterminer les variables des courants internes. Les courants internes s’annulent dans le bilan global mais restent essentiels dans les bilans locaux.

Comprendre les compromis

Les bilans totaux sont utiles mais pas indépendants

Un bilan total reste précieux pour vérifier les calculs et détecter les incohérences de mesure.

Il ne peut simplement pas être compté en plus de tous les bilans de composants correspondants. Si seuls certains bilans de composants sont utilisés, un bilan total peut fournir une information indépendante, mais son indépendance doit être vérifiée par rapport aux équations déjà présentes.

Les variables de composition peuvent créer des équations non linéaires

L’utilisation simultanée du débit total et de la composition peut produire des produits d’inconnues :

[ F_s y_{i,s} ]

Si (F_s) et (y_{i,s}) sont tous deux inconnus, l’équation est non linéaire.

Utiliser les débits de composants (F_{i,s}) comme inconnues principales produit souvent un modèle linéaire plus simple. Le débit total et la composition peuvent ensuite être calculés séparément lorsque cela est approprié.

Les mesures peuvent être incohérentes

Les capteurs d’une installation pilote satisfont rarement exactement chaque équation de conservation en raison d’erreurs d’étalonnage, de bruit, de différences d’échantillonnage ou de pertes non mesurées.

Lorsque les données mesurées surdéterminent le modèle, les ingénieurs peuvent utiliser la réconciliation de données ou des méthodes des moindres carrés. Les équations de conservation restent le fondement physique, tandis que l’incertitude de mesure détermine la façon dont les écarts sont traités.

Les systèmes réactifs nécessitent des termes supplémentaires

Pour une unité réactive, un bilan d’espèce n’est pas simplement entrée égale sortie.

Le bilan général en régime permanent est :

[ \text{Entrée}-\text{Sortie} + \text{Génération par réaction}

\text{Consommation par réaction} =0 ]

Des avancements de réaction indépendants ou des vitesses de réaction peuvent être introduits pour représenter ces termes de source et de perte. Cela diffère d’un séparateur ou d’un mélangeur non réactif, où les espèces sont simplement redistribuées.

Comment appliquer cela à votre projet

Le bon ensemble d’équations dépend des variables choisies et des spécifications disponibles.

Si votre objectif principal est la séparation cellulaire : Écrivez des bilans indépendants pour les cellules et pour chaque autre catégorie de matière devant être suivie, puis ajoutez des spécifications de récupération, de pureté, de partage ou de concentration.
Si votre objectif principal est le mélange de gaz : Écrivez un bilan molaire pour chaque espèce gazeuse, utilisez les débits et compositions d’entrée connus, et imposez la somme des fractions molaires de sortie.
Si votre objectif principal est une installation pilote multi-unités : Définissez des frontières globales et locales, équilibrez chaque sous-système requis, et excluez les courants internes uniquement du bilan global.
Si votre objectif principal est la résolution numérique : Utilisez les débits de composants lorsque c’est possible, évaluez le rang de la matrice et confirmez que les degrés de liberté sont nuls.
Si votre objectif principal est la mesure de données pilotes : Utilisez les bilans indépendants comme contraintes de conservation et réconciliez les mesures incohérentes plutôt que d’ajouter des équations redondantes.

Les bilans de matière indépendants sont établis en associant chaque composant conservé indépendamment à un ensemble complet de contraintes physiques et de procédé non redondantes.

Tableau récapitulatif :

Aspect clé	Recommandation pratique
Bilans indépendants	Écrire une équation de conservation pour chaque composant ou espèce suivi indépendamment.
Systèmes de séparation cellulaire	Suivre les cellules, le milieu dissous, les solutés ou d’autres catégories de matière pertinentes.
Systèmes de mélange de gaz	Écrire un bilan molaire pour chaque espèce gazeuse en utilisant les débits d’entrée et les fractions molaires.
Bilan total	L’utiliser comme vérification utile, mais ne pas le compter comme indépendant lorsque tous les bilans de composants sont inclus.
Équations supplémentaires	Ajouter des contraintes de récupération, de pureté, de partage, de concentration, de débit et de somme des fractions selon les besoins.
Validation du modèle	Vérifier le rang de la matrice, les degrés de liberté, les résidus et la faisabilité physique.
Systèmes réactifs	Inclure les termes de génération et de consommation pour les réactions, la croissance, la mort ou la lyse.

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