Le vecteur contrainte est la traction agissant sur une surface, tandis que le tenseur des contraintes contient l'état de contrainte local complet qui le génère. Pour une surface avec une normale unitaire sortante n, le vecteur contrainte s(n) est obtenu en appliquant le tenseur des contraintes σ à cette normale :

[ \mathbf{s}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n} ]

De manière équivalente, selon la convention du vecteur ligne utilisée dans certains textes de mécanique des fluides, la même relation s'écrit (\mathbf{s}(\mathbf{n})=\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}). Le contenu physique est identique : le tenseur associe une orientation de surface à la force par unité de surface agissant sur cette surface.

Le tenseur des contraintes est la description locale complète de la contrainte ; le vecteur contrainte est la traction particulière produite lorsque ce tenseur agit sur une surface de normale (\mathbf{n}).

Ce que représente le vecteur contrainte

Force par unité de surface

Le vecteur contrainte (\mathbf{s}(\mathbf{n})) représente la force par unité de surface exercée à travers une surface interne imaginaire dans le fluide.

Sa direction et son amplitude dépendent de l'orientation de la surface, spécifiée par la normale unitaire (\mathbf{n}).

L'importance de l'orientation de la surface

Un même point dans un fluide peut subir des vecteurs contrainte différents sur des surfaces orientées différemment.

Une surface normale à une direction de coordonnées peut subir une combinaison différente de forces normales et tangentielles par rapport à une surface ayant une autre orientation.

Ce que contient le tenseur des contraintes

L'état de contrainte local complet

Le tenseur des contraintes (\boldsymbol{\sigma}) stocke les composantes de contrainte normale et de cisaillement associées aux directions des coordonnées en un point.

Il contient donc suffisamment d'informations pour déterminer la traction sur toute surface possible passant par ce point.

Mise en correspondance de l'orientation et de la traction

Le tenseur effectue une application linéaire de la normale à la surface (\mathbf{n}) vers le vecteur contrainte correspondant.

En notation indicielle, en utilisant la convention courante du vecteur colonne,

[ s_i(\mathbf{n})=\sigma_{ij}n_j ]

où (s_i) est la (i)-ième composante du vecteur de traction et (\sigma_{ij}) est la composante correspondante du tenseur des contraintes.

Pourquoi le tétraèdre de Cauchy est important

L'équilibre local établit la relation

La relation découle de l'analyse d'un élément fluide tétraédrique infinitésimal en équilibre mécanique.

Les forces agissant sur ses faces orientées différemment doivent s'équilibrer. À mesure que le tétraèdre se réduit vers un point, les forces de surface sur les faces alignées avec les coordonnées déterminent la force agissant sur n'importe quelle face orientée arbitrairement.

Un seul tenseur remplace de nombreuses mesures

Le résultat signifie que des mesures de contrainte distinctes ne sont pas nécessaires pour chaque orientation de surface possible.

Une fois que (\boldsymbol{\sigma}) est connu en un point, (\mathbf{s}(\mathbf{n})) peut être calculé pour n'importe quel (\mathbf{n}) choisi.

Séparation de la contrainte normale et de cisaillement

Contrainte normale

La composante du vecteur contrainte normale à la surface est la contrainte normale :

[ s_{\mathrm{normal}}=\mathbf{s}(\mathbf{n})\cdot\mathbf{n} ]

Cette composante agit perpendiculairement à la surface.

Contrainte tangentielle

La composante restante agit dans le plan de la surface et représente la traction de cisaillement :

[ \mathbf{s}_{\mathrm{shear}}

\mathbf{s}(\mathbf{n})

\left[\mathbf{s}(\mathbf{n})\cdot\mathbf{n}\right]\mathbf{n} ]

Cette distinction est importante lors de l'évaluation du frottement aux parois, des couches limites et des forces fluides sur les équipements immergés.

Application dans les systèmes de transport de fluides

Parois des récipients et garnissages internes

Au niveau d'une paroi de récipient ou d'une surface de garnissage, la normale locale à la surface détermine la traction générée par le tenseur des contraintes du fluide.

Le vecteur contrainte résultant peut être utilisé pour évaluer à la fois la charge normale de type pression et la charge de cisaillement tangentiel.

Couches limites et cisaillement à la paroi

Près d'une paroi solide, la partie tangentielle de (\mathbf{s}(\mathbf{n})) donne la traction de cisaillement à la paroi.

Ceci est directement pertinent pour les calculs de traînée, de perte d'énergie, d'érosion et de forces de surface.

Charges mécaniques

L'intégration du vecteur contrainte sur une surface donne la force totale exercée par le fluide :

[ \mathbf{F}=\int_A \mathbf{s}(\mathbf{n}),dA ]

Ainsi, la relation tenseur-vecteur fournit l'entrée locale pour calculer les charges sur les parois des récipients, la tuyauterie, les turbines et les équipements internes.

Comprendre les compromis

Les données du tenseur des contraintes doivent être précises

Le vecteur contrainte n'est aussi fiable que le tenseur des contraintes utilisé pour le calculer.

En dynamique des fluides numérique, la résolution numérique, la modélisation de la turbulence et le traitement près de la paroi peuvent fortement affecter les contraintes de cisaillement et les charges de surface prédites.

La convention du tenseur doit être cohérente

Certaines références écrivent l'application sous la forme (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}), tandis que d'autres écrivent (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}).

Ces formes reflètent différentes conventions de vecteurs et d'indices de tenseurs ; la définition des composantes doit donc être vérifiée avant de combiner des équations ou des résultats de logiciels.

La contrainte locale n'est pas égale à la charge totale de l'équipement

Le vecteur contrainte décrit la force par unité de surface en un point de la surface.

Une charge complète sur un récipient ou un garnissage nécessite d'intégrer ce vecteur sur la surface pertinente, tandis que les moments nécessitent en outre de prendre en compte la position de chaque point de la surface.

Faire le bon choix pour votre objectif

Utilisez le tenseur des contraintes comme point de départ, puis sélectionnez la normale à la surface et extrayez la composante de force pertinente pour la question d'ingénierie.

• Si votre objectif principal est la charge de surface : Calculez (\mathbf{s}(\mathbf{n})) à partir du tenseur des contraintes local et intégrez-le sur la surface de la paroi ou de l'équipement.
• Si votre objectif principal est le frottement à la paroi : Projetez (\mathbf{s}(\mathbf{n})) sur la surface pour isoler la traction de cisaillement tangentielle.
• Si votre objectif principal est la pression ou la compression : Projetez (\mathbf{s}(\mathbf{n})) sur (\mathbf{n}) pour obtenir la contrainte normale.
• Si votre objectif principal est de comparer des équations ou des logiciels : Vérifiez si l'implémentation utilise (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}) ou la forme équivalente du vecteur ligne (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}).

Connaître le tenseur des contraintes en un point vous donne le vecteur contrainte sur chaque orientation de surface passant par ce point.

Tableau récapitulatif :

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