L'approximation de la lubrification n'est valide que lorsque l'espacement est très mince et que l'inertie reste faible sur la région longitudinale d'intérêt. Géométriquement, l'échelle de l'espacement transversal doit être beaucoup plus petite que l'échelle longitudinale sur laquelle l'écoulement change, (L_y/L_x \ll 1). Dynamiquement, la condition correspondante est (Re(L_y/L_x) \ll 1) ; pour un écoulement près d'un cylindre, cela devient (Re,|x_0/R| \ll 1).
L'approximation est contrôlée par deux petits paramètres : le rapport d'élancement de l'espacement par rapport à l'échelle de longueur longitudinale et le paramètre d'inertie formé en multipliant ce rapport par le nombre de Reynolds.
Établir le critère géométrique
Comparer la hauteur de l'espacement avec la longueur longitudinale
L'exigence géométrique générale est
[ \frac{L_y}{L_x} \ll 1, ]
où (L_y) est la hauteur de l'espacement ou la largeur du canal et (L_x) est la distance sur laquelle la vitesse, la géométrie de l'espacement ou la pression changent de manière significative.
Pour une surface en mouvement près d'un cylindre de rayon (R), avec une hauteur d'espacement minimale (h_0), la référence principale spécifie la condition pratique
[ \frac{h_0}{R} \lesssim 10^{-3}. ]
Cela garantit que l'écoulement varie lentement dans la direction longitudinale par rapport à la variation rapide de la vitesse à travers l'espacement étroit.
Sélectionner le domaine de modélisation
Près de l'espacement minimal, la longueur longitudinale caractéristique est
[ \ell=\sqrt{2h_0R}. ]
Un emplacement de limite approprié est approximativement
[ x_0=3\ell=3\sqrt{2h_0R}. ]
Ce choix place les limites suffisamment loin de l'espacement minimal pour que la perturbation de pression s'atténue tout en maintenant l'approximation locale compatible avec la courbure du cylindre.
Vérifier l'échelle de courbure
Le domaine sélectionné doit également rester petit par rapport au rayon du cylindre :
[ \frac{x_0}{R}\leq 0.2. ]
En utilisant la valeur spécifiée de (x_0), ce rapport est
[ \frac{x_0}{R}=3\sqrt{\frac{2h_0}{R}}. ]
Ainsi, le rapport d'espacement et le domaine computationnel ou expérimental ne peuvent pas être sélectionnés indépendamment. Un domaine qui s'étend trop loin le long du cylindre peut invalider la description locale de l'espacement étroit, même lorsque l'espacement minimal lui-même est petit.
Établir le critère dynamique
Limiter les effets d'inertie
L'approximation de la lubrification néglige l'inertie longitudinale par rapport aux forces visqueuses. La condition dynamique requise est
[ Re\frac{L_y}{L_x}\ll 1. ]
Ceci est plus restrictif que de simplement exiger (Re\ll 1). Un nombre de Reynolds modéré peut encore être compatible avec la théorie de la lubrification lorsque le rapport espacement/longueur est suffisamment petit, mais le produit doit rester bien inférieur à un.
Appliquer la forme basée sur le cylindre
Pour la géométrie du cylindre et de la surface en mouvement, utilisez
[ Re\left|\frac{x_0}{R}\right|\ll 1. ]
Ici, (Re) doit être basé sur la vitesse pertinente, les propriétés du fluide et l'espacement caractéristique ou l'échelle d'écoulement utilisée par le modèle de laboratoire.
Si (Re) approche ou dépasse l'unité, les effets d'inertie deviennent de plus en plus importants et la restriction sur le nombre de Reynolds devient plus exigeante. L'expérience peut alors nécessiter un traitement de Navier-Stokes plus complet plutôt que les équations de lubrification standard.
Ce que l'approximation vous permet de négliger
Variation de pression transversale
La théorie de la lubrification traite la pression comme presque uniforme à travers l'espacement. Cela découle de la forte séparation entre l'échelle transversale courte et l'échelle longitudinale plus longue.
Si le gradient de pression transversal n'est pas négligeable, l'hypothèse d'un écoulement visqueux presque parallèle dans l'espacement s'effondre.
Inertie longitudinale
Selon le critère dynamique, les forces visqueuses dominent le bilan de quantité de mouvement longitudinal. Les équations résultantes peuvent souvent être réduites à un équilibre entre les gradients de pression, le cisaillement visqueux et tout mouvement de surface imposé.
Effets d'entrée et de développement
Pour les canaux effilés et les géométries de laboratoire similaires, les effets d'entrée doivent être négligeables par rapport à la longueur totale du canal. Dans la notation de la référence supplémentaire, cela nécessite
[ L\gg L_v, ]
où (L_v) est la longueur d'entrée ou de développement de la vitesse.
Si la région de mesure est trop proche de l'entrée, la solution de lubrification pleinement développée peut ne pas décrire l'écoulement observé.
Comprendre les compromis
Un petit espacement ne garantit pas la validité
Réduire (h_0) améliore le rapport d'élancement géométrique, mais cela peut aussi modifier le gradient de pression, la résistance à l'écoulement et la précision expérimentale requise. Le test géométrique doit donc être vérifié conjointement avec le critère dynamique.
L'augmentation du débit augmente le risque d'inertie
Des vitesses de surface ou des débits volumétriques plus élevés augmentent le nombre de Reynolds. Même avec un espacement étroit, le produit (Re(L_y/L_x)) peut cesser d'être petit.
Ceci est particulièrement important dans les démonstrations de traitement des polymères, où les conditions de fonctionnement peuvent être choisies pour le rendement, mais où l'approximation nécessite une dominance visqueuse.
Un domaine surdimensionné crée des erreurs de courbure
Choisir (x_0) trop grand peut inclure des régions où l'approximation locale du cylindre n'est plus précise. Le domaine doit être assez long pour l'atténuation de la pression, mais doit toujours satisfaire la contrainte de courbure (x_0/R\leq0.2).
Les effets de limite et d'entrée peuvent fausser les mesures
Un canal de laboratoire peut satisfaire le critère d'espacement local tout en ne fournissant pas assez de distance pour que l'écoulement se développe. Les mesures doivent donc être prises dans une région où les effets d'entrée sont faibles et où les conditions aux limites sélectionnées sont physiquement appropriées.
Faire le bon choix pour votre expérience
Utilisez les vérifications suivantes avant d'appliquer la théorie de la lubrification à une expérience d'opérations unitaires à faible espacement :
- Si votre objectif principal est la validité géométrique : Confirmez que (h_0/R) est d'environ (10^{-3}) ou moins, que (x_0=3\sqrt{2h_0R}) et que (x_0/R\leq0.2).
- Si votre objectif principal est la validité dynamique : Calculez (Re(L_y/L_x)), ou (Re|x_0/R|) pour la géométrie du cylindre, et exigez que le résultat soit bien inférieur à un.
- Si votre objectif principal est d'obtenir des données fiables sur la perte de charge : Assurez-vous que la région de mesure est suffisamment éloignée de l'entrée pour que (L\gg L_v).
- Si votre objectif principal est un fonctionnement à haute vitesse ou à haut débit : Réévaluez l'approximation à mesure que le débit ou la vitesse de surface augmente, car le critère d'inertie peut échouer avant le critère géométrique.
Lorsque les critères d'élancement et d'inertie sont tous deux satisfaits, la théorie de la lubrification fournit un modèle réduit défendable pour les expériences d'écoulement à faible espacement.
Tableau récapitulatif :
| Critère | Exigence | Objectif |
|---|---|---|
| Élancement | Ly/Lx << 1 | Assure que l'espacement est mince par rapport à la longueur de variation longitudinale. |
| Rapport d'espacement du cylindre | h0/R environ 10^-3 ou moins | Soutient l'approximation locale d'espacement étroit. |
| Domaine longitudinal | x0 = 3√(2h0R) | Fournit une distance suffisante pour l'atténuation de la perturbation de pression. |
| Contrainte de courbure | x0/R <= 0.2 | Maintient le domaine sélectionné compatible avec la courbure locale du cylindre. |
| Effets d'inertie | Re(Ly/Lx) << 1 | Assure que les forces visqueuses dominent l'inertie longitudinale. |
| Inertie basée sur le cylindre | Re | x0/R |
| Effets d'entrée | L >> Lv | Assure que les mesures représentent un écoulement de lubrification développé. |
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