La traînée de frottement totale est obtenue en intégrant la contrainte de cisaillement locale à la paroi sur la surface mouillée. Pour une surface plane de longueur (L) et de largeur (b), la traînée de frottement dans la direction de l'écoulement est
[ D_f=b\int_0^L \tau_w(x),dx, ]
où la contrainte de cisaillement locale à la paroi est
[ \tau_w(x)=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_w. ]
La croissance de la couche limite peut également créer une traînée de forme : à mesure que la couche s'épaissit, son effet de déplacement modifie le champ de pression externe, et le décollement peut produire une différence de pression entre les faces amont et aval du corps.
La traînée de frottement provient du cisaillement visqueux à la paroi et est déterminée en intégrant (\tau_w) sur la surface mouillée. La traînée de forme est une force de pression causée par le déplacement de l'écoulement extérieur par la couche limite, particulièrement lorsqu'une couche limite épaisse se décolle.
Calcul de la traînée de frottement à partir de la contrainte de cisaillement à la paroi
La contrainte de cisaillement locale à la paroi
Pour un fluide newtonien, la contrainte de cisaillement à la paroi est déterminée par le gradient de vitesse normal à la paroi :
[ \tau_w(x)=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_w. ]
Ici, (\mu) est la viscosité dynamique, (u) est la vitesse dans la direction de l'écoulement, et (y) est la coordonnée perpendiculaire à la surface.
La condition de non-glissement rend la vitesse du fluide nulle à la paroi. La vitesse doit ensuite passer de zéro à la vitesse de l'écoulement extérieur à travers la couche limite, produisant le gradient responsable du cisaillement visqueux.
Intégration le long d'une surface plane
Pour une surface de largeur constante (b), la force de frottement différentielle est
[ dD_f=\tau_w(x)b,dx. ]
L'intégration du bord d'attaque au bord de fuite donne
[ D_f=b\int_0^L\tau_w(x),dx. ]
Pour une surface à largeur variable ou une forme tridimensionnelle, l'expression plus générale est
[ D_f=\int_A \tau_w,dA ]
en utilisant la composante de la force de cisaillement locale dans la direction de l'écoulement.
Pourquoi le bord d'attaque est important
Dans une couche limite laminaire, la couche est la plus mince près du bord d'attaque. Le gradient de vitesse à la paroi y est donc le plus raide, et (\tau_w) est par conséquent le plus grand.
Pour un écoulement laminaire sur une plaque plane,
[ \tau_w(x)=0.332\mu U_\infty \sqrt{\frac{U_\infty}{\nu x}}, ]
où (U_\infty) est la vitesse de l'écoulement libre et (\nu) est la viscosité cinématique.
Comme cette relation varie en (x^{-1/2}), la contrainte de cisaillement locale diminue vers l'aval, même si la traînée totale continue de s'accumuler.
Résultat pour une plaque plane laminaire
L'intégration de la distribution de cisaillement à la paroi de Blasius produit le coefficient de traînée moyen
[ C_D=\frac{1.328}{\sqrt{Re_L}}, ]
où
[ Re_L=\frac{U_\infty L}{\nu}. ]
La traînée totale correspondante est
[ D_f=\frac{1}{2}\rho U_\infty^2(bL)C_D. ]
Ce résultat s'applique à une couche limite laminaire sur une plaque plane lisse sans effets significatifs de gradient de pression. La transition vers la turbulence augmente généralement la traînée de frottement au-delà de la prédiction laminaire.
Comment la croissance de la couche limite modifie l'écoulement extérieur
L'effet de déplacement
La couche limite n'ajoute pas seulement du cisaillement à la paroi. Elle amène également l'écoulement extérieur à se comporter comme si la surface solide était plus épaisse que sa forme géométrique.
Cela se produit parce que le fluide à faible quantité de mouvement à l'intérieur de la couche limite transporte moins de quantité de mouvement longitudinale que le fluide idéal de l'écoulement extérieur. Les lignes de courant extérieures sont déplacées loin de la paroi d'une valeur liée à l'épaisseur de déplacement.
Redistribution de la pression
À mesure que la couche limite croît vers l'aval, son effet de déplacement modifie la distribution de vitesse et de pression dans l'écoulement externe.
Pour une couche limite mince attachée sur une plaque plane avec une vitesse extérieure presque uniforme, cet effet de pression est faible, et la traînée est principalement une traînée de frottement. Cependant, pour un corps avec une courbure ou un gradient de pression adverse, le champ de pression modifié peut devenir une source majeure de résistance.
Décollement et formation de sillage
Un gradient de pression adverse se produit lorsque la pression externe augmente dans la direction de l'écoulement. La couche limite doit se déplacer contre cette pression croissante tout en contenant déjà un fluide à faible quantité de mouvement près de la paroi.
Si l'écoulement près de la paroi perd suffisamment de quantité de mouvement, la contrainte de cisaillement à la paroi diminue jusqu'à zéro et peut ensuite changer de signe. La couche limite se décolle de la surface, créant un sillage avec une pression moyenne plus faible derrière le corps.
L'origine de la traînée de forme
La pression sur la face amont d'un corps est alors supérieure à la pression sur la face aval. La force de pression longitudinale résultante est appelée traînée de forme, traînée de pression ou traînée de profil.
Ainsi, la croissance de la couche limite induit la traînée de forme à travers cette séquence :
- La couche limite s'épaissit vers l'aval.
- Le fluide à faible quantité de mouvement augmente l'effet de déplacement.
- Un gradient de pression adverse affaiblit l'écoulement près de la paroi.
- La couche limite se décolle.
- Un sillage à basse pression se forme derrière le corps.
- La différence de pression entre l'amont et l'aval produit la traînée de forme.
La traînée de forme n'est donc pas obtenue en intégrant la contrainte de cisaillement à la paroi. Elle doit être calculée à partir de la distribution de pression sur la surface du corps :
[ D_p=-\int_A p,\mathbf{n}\cdot\mathbf{i},dA, ]
où (p) est la pression, (\mathbf{n}) est la normale à la surface sortante, et (\mathbf{i}) est le vecteur unitaire dans la direction de l'écoulement.
La traînée totale est généralement écrite comme
[ D_{\text{total}}=D_f+D_p, ]
avec toute composante supplémentaire, telle que la traînée induite ou de vague, incluse le cas échéant.
Application du calcul dans les usines pilotes
Mesures de frottement de surface
Une usine pilote peut fournir des mesures de vitesse locale, des données de pression ou des mesures de force directe. Si le profil de vitesse près de la paroi est connu, le gradient à la paroi peut être estimé et converti en contrainte de cisaillement en utilisant
[ \tau_w=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_w. ]
Une résolution précise près de la paroi est essentielle car la dérivée est évaluée à la paroi, là où la vitesse change rapidement.
Différenciation numérique près de la paroi
Une simple différence finie à un point peut produire une erreur substantielle à une limite. Les formules multipoints utilisant plusieurs valeurs de vitesse intérieures fournissent généralement une estimation plus fiable du gradient à la paroi.
Pour les surfaces courbes ou les écoulements avec un gradient de pression pertinent, la dérivée doit être évaluée dans un système de coordonnées normal à la paroi. Les effets du gradient de pression ne doivent pas être déduits de la seule corrélation pour plaque plane.
Conduites et équipements d'opérations unitaires
Dans les conduites, les tuyaux, les échangeurs de chaleur et autres équipements d'usine pilote, le cisaillement à la paroi contribue directement à la perte de pression et à la puissance de pompage.
Pour un écoulement interne pleinement développé, la traînée de frottement est représentée par le cisaillement à la paroi agissant le long du périmètre mouillé. Les expansions, contractions, coudes, raccords, entrées et sorties locales introduisent des pertes de pression supplémentaires qui sont souvent traitées comme des traînées de forme ou des pertes mineures.
Ces contributions doivent être séparées conceptuellement :
- La perte de frottement distribuée résulte du cisaillement à la paroi le long du chemin d'écoulement.
- La perte de forme ou mineure résulte des changements de géométrie, du décollement, de la recirculation et de la récupération de pression.
Comprendre les compromis
Écoulement laminaire versus turbulent
L'écoulement laminaire produit généralement un frottement de surface plus faible sur une surface lisse, mais il a un échange de quantité de mouvement limité entre la paroi et l'écoulement extérieur.
L'écoulement turbulent produit un cisaillement à la paroi plus important car le mélange transporte un fluide à plus haute quantité de mouvement vers la paroi. Sa couche limite croît également plus rapidement ; une relation représentative pour une plaque plane turbulente est
[ \delta=0.370\left(\frac{\nu x^4}{U_\infty}\right)^{1/5}, ]
ce qui correspond à une croissance d'environ (x^{4/5}), comparé à (x^{1/2}) pour une couche limite laminaire.
Réduction du frottement versus résistance au décollement
L'aspiration de la couche limite élimine le fluide à faible quantité de mouvement près de la paroi. Cela peut amincir la couche limite, retarder la transition ou le décollement, et réduire le frottement dans des conditions de fonctionnement appropriées.
Cependant, l'aspiration nécessite des équipements, un contrôle et une énergie supplémentaires. Son bénéfice doit donc être évalué par rapport aux coûts de puissance et de maintenance du système d'aspiration.
Corrélations versus mesures directes
Les corrélations pour plaques planes sont utiles pour estimer la traînée lors de la mise à l'échelle, mais elles supposent une géométrie et des conditions d'écoulement spécifiques.
Elles peuvent devenir peu fiables lorsque l'usine pilote présente une courbure significative, une rugosité, des gradients de pression, une contamination de surface, des effets tridimensionnels forts ou un décollement d'écoulement. Dans ces cas, les données de pression et de cisaillement mesurées fournissent une estimation de la traînée plus défendable.
Contrainte de cisaillement locale versus traînée totale
Une valeur locale élevée de (\tau_w) ne détermine pas à elle seule la traînée totale. La contrainte doit être intégrée sur toute la surface mouillée, et sa direction doit être projetée sur la direction de l'écoulement.
De même, une faible contrainte de cisaillement à la paroi après le décollement n'implique pas une faible résistance totale. Un sillage décollé peut générer une traînée de pression substantielle même lorsque le frottement de surface local est faible ou inversé.
Faire le bon choix pour votre objectif
Utilisez la méthode de calcul qui correspond à la question physique et à la géométrie de l'usine pilote.
- Si votre objectif principal est la traînée de frottement à la paroi : Mesurez ou modélisez le gradient de vitesse près de la paroi, calculez (\tau_w=\mu(\partial u/\partial y)_w), et intégrez-le sur la surface mouillée.
- Si votre objectif principal est la traînée externe totale : Combinez la force de cisaillement à la paroi intégrée avec la force de pression obtenue à partir de la distribution de pression en surface.
- Si votre objectif principal est la perte de pression en conduite : Séparez les pertes par frottement à la paroi distribuées des pertes locales causées par les raccords, expansions, contractions, coudes, entrées et sorties.
- Si votre objectif principal est le contrôle de la couche limite : Évaluez si l'aspiration ou une autre méthode de contrôle réduit suffisamment le décollement et la traînée de pression pour justifier ses besoins supplémentaires en équipement et en énergie.
Une prédiction précise de la traînée provient du traitement du cisaillement à la paroi, de la redistribution de la pression et du décollement comme des parties connectées mais distinctes du problème d'écoulement.
Tableau récapitulatif :
| Sujet | Principe clé | Calcul ou résultat |
|---|---|---|
| Contrainte de cisaillement à la paroi | Cisaillement visqueux à la paroi | (\tau_w=\mu(\partial u/\partial y)_w) |
| Traînée de frottement sur surface plane | Intégrer le cisaillement local sur la surface mouillée | (D_f=b\int_0^L\tau_w(x),dx) |
| Traînée de frottement générale | Inclure la composante du cisaillement dans la direction de l'écoulement | (D_f=\int_A\tau_w,dA) |
| Plaque plane laminaire | Le cisaillement local est le plus élevé près du bord d'attaque | (C_D=1.328/\sqrt{Re_L}) |
| Croissance de la couche limite | Le fluide à faible quantité de mouvement déplace l'écoulement extérieur | Alterne le champ de pression externe |
| Décollement de l'écoulement | Les gradients de pression adverses peuvent inverser l'écoulement près de la paroi | Crée un sillage à basse pression |
| Traînée de forme | Différence de pression entre les surfaces amont et aval | (D_p=-\int_A p,\mathbf{n}\cdot\mathbf{i},dA) |
| Traînée totale | Combiner les contributions du cisaillement et de la pression | (D_{total}=D_f+D_p) |
| Écoulement interne en usine pilote | Séparer le frottement distribué des pertes locales | Prendre en compte les parois, coudes, raccords, expansions et contractions |
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