Pour les écoulements de fluides visqueux, le bilan d'énergie est formulé en séparant l'énergie totale en contributions thermique et mécanique. L'équation de l'énergie totale suit l'énergie interne, cinétique et potentielle, tout en tenant compte de la conduction thermique et du travail effectué par les contraintes de pression et visqueuses. La soustraction du bilan d'énergie mécanique met en évidence les effets thermiques de la compression ou de la détente ainsi que la conversion irréversible de l'énergie mécanique en chaleur par dissipation visqueuse.

La formulation générale associe un bilan d'énergie totale à un bilan d'énergie mécanique. Pour les fluides visqueux, l'équation de l'énergie interne doit inclure la conduction thermique, les effets du travail des pressions et le terme de dissipation visqueuse (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}), qui peut être important dans les opérations à forte viscosité ou à fort cisaillement.

Commencer par le bilan d'énergie totale

Énergie d'une particule fluide

L'énergie totale massique substantielle est

[ e_t = u + \frac{v^2}{2} + gz ]

où (u) est l'énergie interne, (v^2/2) l'énergie cinétique et (gz) l'énergie potentielle.

Pour une particule fluide, le bilan du premier principe peut s'écrire

[ \rho \frac{D e_t}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{v}) + \rho \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

où (\rho) est la masse volumique, (\mathbf{q}) le flux de chaleur conductif, (\boldsymbol{\sigma}) le tenseur des contraintes totales, (\mathbf{b}) la force volumique par unité de masse et (\dot{q}_v) représente toute source de chaleur volumique.

Conduction thermique

La loi de Fourier définit le flux de chaleur conductif :

[ \mathbf{q}=-k\nabla T ]

Par conséquent, la contribution conductrice au bilan d'énergie est

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}

\nabla\cdot(k\nabla T) ]

Pour une conductivité thermique constante, cela devient (k\nabla^2T).

Sur une paroi solide stationnaire, la vitesse du fluide à la paroi est nulle en raison de la condition d'adhérence. Le transfert thermique à travers la frontière est donc représenté par le flux conductif normal à la paroi :

[ q_w=-k\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_w ]

Le gradient de température à la paroi détermine le taux local de transfert thermique utilisé dans les échangeurs de chaleur, les évaporateurs, les serpentins de refroidissement et les jaquettes de réacteur.

Travail des contraintes

Le tenseur des contraintes est généralement décomposé comme suit :

[ \boldsymbol{\sigma}=-P\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

où (P) est la pression et (\boldsymbol{\tau}) le tenseur des contraintes déviatoriques, ou visqueuses.

Le terme de travail des contraintes comprend à la fois le travail des pressions et le travail des contraintes visqueuses. Cette distinction est essentielle, car le travail des pressions représente principalement un transfert réversible d'énergie mécanique, tandis que les contraintes visqueuses peuvent générer irréversiblement de l'énergie thermique.

Dériver le bilan d'énergie thermique

Forme en énergie interne

Après séparation des énergies cinétique et potentielle de l'équation de l'énergie totale et utilisation du bilan de quantité de mouvement, l'équation de l'énergie interne est

[ \rho\frac{D u}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q}

P\nabla\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Ici, (\mathbf{v}) est le champ de vitesse et les deux-points désignent la double contraction de deux tenseurs.

Les termes ont des significations physiques directes :

• (-\nabla\cdot\mathbf{q}) : chaleur conductrice nette entrant dans l'élément fluide.
• (-P\nabla\cdot\mathbf{v}) : travail réversible de pression-volume.
• (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) : conversion visqueuse irréversible de l'énergie mécanique en énergie interne.
• (\dot{q}_v) : génération de chaleur volumique spécifiée extérieurement.

Forme température-pression

Pour un fluide caractérisé thermodynamiquement, la différentielle de l'énergie interne peut être exprimée en fonction de la température et de la pression. Une forme utile du bilan thermique est

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \left[ 1- \frac{T}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P \right] \frac{D P}{D t} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Le coefficient de pression exact dépend des variables thermodynamiques et de l'équation d'état utilisées. Les contributions physiques importantes sont l'effet thermique induit par la pression et la dissipation visqueuse.

Pour une valeur constante de (k), le terme conductif peut s'écrire

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}=k\nabla^2T ]

Compressibilité et effets de la pression

Le terme faisant intervenir (DP/Dt) décrit le chauffage ou le refroidissement réversible associé à la compression et à la détente. Il est particulièrement important lorsque la masse volumique varie sensiblement, notamment dans les gaz, les liquides compressibles, les transitoires rapides de pression ou les équipements fortement pressurisés.

Pour un liquide incompressible dont les propriétés sont presque constantes, cette contribution pression-température est souvent négligeable dans l'équation thermique. La pression peut néanmoins rester importante dans le bilan d'énergie mécanique distinct.

Prendre en compte la dissipation visqueuse

Terme général de chauffage visqueux

Le terme

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

est le taux de conversion de l'énergie mécanique visqueuse en chaleur par unité de volume.

Il est non négatif pour un fluide newtonien physiquement admissible et représente le chauffage interne irréversible provoqué par les gradients de vitesse.

Fluides newtoniens

Pour un fluide newtonien,

[ \boldsymbol{\tau}

\mu\left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

où (\mu) est la viscosité dynamique et (\lambda) le second coefficient de viscosité.

La fonction de dissipation est donc

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Pour un écoulement incompressible à viscosité constante, elle est couramment exprimée à l'aide du tenseur des taux de déformation (\mathbf{D}) :

[ \Phi_v=2\mu,\mathbf{D}:\mathbf{D} ]

Pourquoi la viscosité est importante dans les opérations unitaires

Dans les écoulements à faible viscosité et faible cisaillement, le chauffage visqueux peut être faible par rapport à la chaleur échangée à travers la paroi de l'équipement. Dans les polymères, les huiles lourdes, les fluides biologiques concentrés et les opérations de mélange intensif, il peut devenir une source interne majeure de chaleur.

La conséquence est que la température du fluide peut augmenter même lorsque l'équipement est refroidi extérieurement. Omettre (\Phi_v) dans de tels systèmes peut conduire à des températures de sortie, des coefficients de transfert thermique, des prévisions de temps de séjour et des besoins en refroidissement incorrects.

Formuler le bilan d'énergie mécanique

Énergie mécanique par unité de masse

Le contenu en énergie mécanique d'un fluide en écoulement est généralement représenté par les termes de pression, cinétique et potentielle :

[ \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz ]

Pour un écoulement stationnaire à travers une opération unitaire, un bilan pratique d'énergie mécanique par unité de masse est

[ \frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + w_s

\frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + F ]

où (w_s) est le travail sur arbre fourni au fluide et (F) la perte d'énergie mécanique par unité de masse due aux frottements et à d'autres effets irréversibles.

La réorganisation donne

[ w_s

\frac{P_2-P_1}{\rho} + \frac{v_2^2-v_1^2}{2} + g(z_2-z_1) + F ]

Le signe de (w_s) dépend de la convention utilisée. L'équation ci-dessus définit (w_s) comme un travail positif fourni au fluide.

Bilan mécanique différentiel

Une forme différentielle peut être dérivée de l'équation de quantité de mouvement en projetant le travail des contraintes sur le champ de vitesse. Elle prend en compte le travail du gradient de pression, le travail des forces volumiques, les variations d'énergie cinétique, le travail sur arbre et les pertes visqueuses.

Dans les calculs pratiques sur des installations pilotes, la forme intégrée est généralement plus utile, car elle relie directement le travail de la pompe ou du compresseur à l'augmentation de pression, à la variation de vitesse, à la variation d'altitude et à la perte par frottement.

Bilan mécanique pour un écoulement incompressible

Pour un écoulement liquide à masse volumique constante, l'expression couramment utilisée est

[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F

w_s ]

La multiplication par le débit massique donne la puissance requise sur l'arbre :

[ \dot W_s

\dot m \left[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F \right] ]

Cette relation permet de sélectionner les pompes et de prévoir les pertes de pression dans les conduites, les raccords, les échangeurs de chaleur, les filtres, les mélangeurs et autres modules.

Relier les pertes mécaniques à la génération thermique

Le frottement n'est pas automatiquement un flux de chaleur à la paroi

Le terme de frottement (F) représente la dégradation de l'énergie mécanique. Il ne doit pas être automatiquement introduit dans le bilan thermique comme une chaleur transférée à travers la paroi.

Une partie de l'énergie mécanique perdue est convertie localement en énergie interne par dissipation visqueuse. Le reste peut être transporté par le fluide puis finalement transféré aux surfaces de l'équipement ou à l'environnement.

Bilans locaux et bilans globaux

L'équation thermique différentielle utilise le terme local de génération

[ \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Un bilan mécanique global utilise la perte intégrée (F). Ces grandeurs sont liées par intégration spatiale, mais elles ne sont pas interchangeables sans tenir compte du champ d'écoulement et du volume de contrôle.

Cette distinction évite de compter deux fois le chauffage par frottement lorsque les bilans thermique et mécanique sont appliqués à la même opération unitaire.

La chaleur et le travail sont des modes de transfert différents

La chaleur traverse une frontière système en raison d'une différence de température. Le travail traverse la frontière par l'intermédiaire de forces mécaniques, électriques, de pression ou exercées par un arbre.

Une pompe ou un agitateur fournit du travail au procédé, tandis qu'une jaquette de refroidissement évacue de la chaleur. Le fait que le travail mécanique puisse finalement apparaître sous forme d'énergie thermique ne transforme pas le transfert initial de travail sur arbre en transfert de chaleur.

Comprendre les compromis

Approximations d'incompressibilité

Pour de nombreuses opérations unitaires sur des liquides, la masse volumique, la viscosité et la conductivité thermique sont considérées comme constantes. Cela simplifie le bilan thermique en

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

k\nabla^2T + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Cette approximation n'est appropriée que lorsque les variations de masse volumique et de propriétés induites par la pression sont négligeables sur la plage de fonctionnement.

Négliger la dissipation visqueuse

La suppression du terme visqueux réduit l'équation à un bilan conventionnel de convection-conduction. Cela est souvent raisonnable pour les fluides peu visqueux, mais peut être imprudent dans les passages étroits, à vitesse de rotation élevée, lors de mélanges intenses ou avec des matériaux fortement rhéofluidifiants.

La comparaison pertinente porte sur la génération de chaleur visqueuse et l'évacuation de chaleur par la paroi, et non sur la viscosité seule.

Hypothèses d'état stationnaire

À l'état stationnaire, l'accumulation locale peut disparaître, mais le transport convectif, la conduction, les effets de pression, la dissipation visqueuse et les échanges thermiques peuvent rester importants.

L'état stationnaire ne signifie pas que le bilan thermique est négligeable. Il signifie que le champ de température ne varie plus avec le temps en un point fixe.

Simplifications de type Bernoulli

Si les pertes visqueuses, le travail sur arbre, les effets thermiques et la compressibilité sont négligeables, le bilan mécanique se réduit à une relation de type Bernoulli. Cette relation est utile pour les écoulements idéalisés, mais elle est généralement insuffisante pour dimensionner des pompes réelles ou analyser des équipements destinés aux fluides très visqueux.

Comment appliquer cela à votre projet

Le bilan approprié dépend de l'objectif : prévoir la température, calculer le travail de l'équipement ou évaluer simultanément les deux effets.

• Si votre objectif principal est de prévoir la température : utilisez l'équation de l'énergie interne ou de la température avec la conduction, la convection, les effets thermiques induits par la pression lorsqu'ils sont pertinents, la dissipation visqueuse et la génération de chaleur volumique.
• Si votre objectif principal est le dimensionnement d'une pompe ou d'un compresseur : utilisez le bilan d'énergie mécanique avec la variation de pression, la variation d'énergie cinétique, la variation d'altitude, la perte par frottement et le travail sur arbre.
• Si votre objectif principal concerne une opération à forte viscosité ou à fort cisaillement : conservez (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) et évaluez si le chauffage visqueux modifie sensiblement le champ de température.
• Si votre objectif principal concerne un écoulement compressible ou rapidement pressurisé : conservez le terme thermodynamique (DP/Dt) et utilisez une équation d'état et un modèle de propriétés cohérents.
• Si votre objectif principal est le bilan global d'une opération unitaire : combinez le bilan thermique local avec le bilan mécanique intégré tout en évitant de compter deux fois l'énergie de frottement.

Une formulation fiable maintient le transport thermique, l'énergie mécanique et leur conversion irréversible explicitement liés, tout en les distinguant sur le plan physique.

Tableau récapitulatif :

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