La vitesse terminale de sédimentation est déterminée en équilibrant la force gravitationnelle nette exercée sur la particule avec la traînée du fluide. Pour une particule sphérique dans un régime caractérisé par un faible nombre de Reynolds, on obtient le résultat de la loi de Stokes :

[ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} ]

où (U_t) est la vitesse terminale, (D_p) le diamètre de la particule, (\rho_p) et (\rho_f) les masses volumiques de la particule et du fluide, et (\mu) la viscosité du fluide. Dans une unité pilote, les étudiants calculent généralement cette valeur, vérifient le régime d’écoulement applicable et la comparent à la vitesse mesurée dans une colonne de sédimentation ou un bassin de décantation.

La méthode fondamentale repose sur un bilan des forces, mais la loi de Stokes n’est valable que lorsque la traînée visqueuse prédomine. Pour les particules plus grosses ou les fluides moins visqueux, le coefficient de traînée dépend du nombre de Reynolds ; la vitesse doit donc être déterminée en sélectionnant ou en itérant sur le régime de traînée approprié.

Comment le bilan des forces détermine la vitesse terminale

Force gravitationnelle nette ou force de flottabilité

Pour une particule sphérique se déposant dans un fluide, la force gravitationnelle dirigée vers le bas est opposée par la poussée d’Archimède. La force motrice résultante est

[ F_{\text{net}}=\frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f) ]

où (R) est le rayon de la particule.

Si (\rho_p>\rho_f), la particule se dépose. Si (\rho_p<\rho_f), elle remonte et le sens de la vitesse est inversé.

Traînée hydrodynamique

Lorsque la particule se déplace, le fluide exerce une force de traînée qui s’oppose à son mouvement. Dans les conditions d’un écoulement de Stokes, la force de traînée exercée sur une sphère est

[ F_D=6\pi\mu R U_t ]

À la vitesse terminale, l’accélération a cessé, car la force nette est nulle :

[ F_{\text{net}}=F_D ]

En substituant les deux expressions des forces, on obtient

[ \frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f)

6\pi\mu R U_t ]

et par conséquent

[ U_t=\frac{2}{9}\frac{R^2g(\rho_p-\rho_f)}{\mu} ]

En utilisant (D_p=2R), la même équation devient

[ \boxed{ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} } ]

Quand la loi de Stokes s’applique

Faible nombre de Reynolds des particules

Le nombre de Reynolds de la particule est

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

Pour des nombres de Reynolds très faibles, généralement (Re_p<0.3) dans l’étude expérimentale de la sédimentation en laboratoire, la traînée visqueuse suit étroitement la loi de Stokes.

Dans ce régime, les effets d’inertie sont négligeables et la viscosité contrôle la résistance au mouvement.

Signification de l’équation

Le résultat de Stokes montre que la vitesse terminale :

Augmente avec le carré du diamètre de la particule.
Augmente linéairement avec la différence de masse volumique.
Augmente avec l’accélération gravitationnelle.
Diminue lorsque la viscosité du fluide augmente.

Ainsi, doubler le diamètre de la particule multiplie la vitesse prédite par quatre, à condition que la particule reste dans le régime de Stokes.

Comment les expériences sur unité pilote déterminent la vitesse

Mesure dans une colonne de sédimentation

Une suspension connue est introduite dans une colonne de sédimentation transparente ou un récipient de décantation. La position de la particule ou de l’interface est enregistrée en fonction du temps.

Une fois que la particule a dépassé sa période d’accélération initiale, sa position évolue approximativement de manière linéaire avec le temps. La pente de cette zone donne la vitesse terminale mesurée :

[ U_t \approx \frac{\Delta z}{\Delta t} ]

où (\Delta z) est la distance de sédimentation mesurée.

Comparaison des valeurs mesurées et calculées

Les étudiants calculent normalement (U_t) à partir de la taille des particules, de leur masse volumique, de la viscosité et de la gravité avant de réaliser l’expérience. La vitesse mesurée est ensuite comparée à la valeur théorique.

Les différences peuvent résulter de distributions de tailles de particules, de particules non sphériques, d’effets de paroi, de la concentration de la suspension, de l’agglomération, de variations de température ou du fait que le mouvement terminal n’a pas été atteint.

Évaluation des performances de séparation

La vitesse terminale aide à déterminer si une particule sera éliminée dans le temps de séjour disponible :

[ t_s\approx\frac{H}{U_t} ]

où (H) est la distance de sédimentation dans les conditions idéalisées pertinentes.

Cette relation permet une analyse préliminaire des bassins de sédimentation, des décanteurs, des épaississeurs et des équipements de clarification cellulaire.

Comment sélectionner le régime de traînée approprié

La dépendance circulaire

En dehors du régime de Stokes, la vitesse terminale dépend du coefficient de traînée. Le coefficient de traînée dépend du nombre de Reynolds, mais le nombre de Reynolds contient lui-même la vitesse terminale inconnue :

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

Par conséquent, la vitesse ne peut pas toujours être calculée directement à partir d’une seule équation explicite.

Méthode du groupe de friction

Un paramètre de présélection pratique est

[ K

D_p \left[ \frac{\rho_f(\rho_p-\rho_f)g}{\mu^2} \right]^{1/3} ]

La valeur de (K) indique le régime de sédimentation probable :

(K<3.3) : régime laminaire ou de Stokes
(3.3<K<43.6) : régime de transition ou d’Allen
(K>43.6) : régime turbulent ou de Newton

Ces limites constituent des indications pédagogiques utiles, mais le régime final doit être confirmé à l’aide du nombre de Reynolds calculé et de la corrélation de traînée utilisée.

Procédure par essais et vérifications

Un calcul typique sur une unité pilote suit la séquence suivante :

Spécifier (D_p), (\rho_p), (\rho_f), (\mu) et (g).
Estimer le régime probable à l’aide de (K) ou d’une hypothèse initiale concernant le nombre de Reynolds.
Calculer (U_t) avec l’équation de sédimentation correspondante.
Calculer (Re_p) à partir de cette vitesse.
Vérifier que le nombre de Reynolds concorde avec le régime supposé.
Répéter le calcul avec une autre corrélation si l’hypothèse est incohérente.

Cette procédure est particulièrement importante pour les particules situées dans la zone de transition.

Ce que l’unité pilote enseigne au-delà de l’équation

Effet des propriétés du fluide

L’augmentation de la viscosité ralentit la sédimentation, car le fluide oppose une résistance accrue au déplacement des particules. L’augmentation de la différence de masse volumique entre la particule et le fluide accroît la force motrice et donc la vitesse de sédimentation.

La température peut modifier considérablement la viscosité ; la température du fluide doit donc être enregistrée pendant les expériences.

Effet de la taille et de la forme des particules

L’équation idéale suppose des particules sphériques de diamètre connu. Les solides réels peuvent être irréguliers, poreux ou agglomérés.

Pour les particules non sphériques, la vitesse de sédimentation mesurée est souvent inférieure à celle d’une sphère de volume équivalent, car la traînée effective est plus élevée.

Suspensions diluées et concentrées

Le bilan des forces appliqué à une particule isolée décrit la sédimentation libre sans entrave, dans laquelle les particules sont suffisamment séparées pour ne pas se perturber fortement entre elles.

À des concentrations plus élevées, les interactions entre particules et le déplacement du fluide modifient le comportement de sédimentation. La vitesse d’interface mesurée peut alors représenter une sédimentation entravée ou en zone, plutôt que la vitesse terminale d’une sphère isolée.

Comprendre les compromis

La loi de Stokes est simple, mais limitée

La loi de Stokes est claire et très utile pour enseigner les bilans de forces, les tendances d’échelle et le comportement à faible nombre de Reynolds. Elle devient peu fiable lorsque l’inertie des particules est importante ou lorsque la suspension est concentrée.

L’utiliser automatiquement pour toutes les tailles de particules peut conduire à des temps de sédimentation et à des prévisions de séparation incorrects.

Les vitesses théoriques et mesurées peuvent différer

Une unité pilote se comporte rarement comme un fluide infini au repos. Les parois du récipient, les perturbations à l’entrée, la turbulence, les courts-circuits hydrauliques, la variation de taille des particules et l’incertitude d’échantillonnage peuvent tous affecter le résultat.

La valeur expérimentale doit donc être interprétée comme une propriété de l’équipement et des conditions opératoires spécifiés, et non comme une constante universelle de la particule.

La gravité ne fournit pas toujours l’accélération

Dans la sédimentation ordinaire, (g) est l’accélération gravitationnelle. En centrifugation, l’accélération effective est remplacée par l’accélération centrifuge locale.

Le même principe de bilan des forces s’applique, mais l’accélération peut varier selon la position radiale dans l’équipement.

La séparation gaz-liquide nécessite un traitement pratique différent

Pour les gouttelettes liquides se déposant dans un gaz, les rapports de masse volumique et le comportement de la traînée diffèrent considérablement de ceux de la sédimentation liquide-solide. La conception des séparateurs utilise généralement un facteur de traînée ou un coefficient de traînée lié au nombre de Reynolds, plutôt que d’appliquer indistinctement l’équation de Stokes pour les systèmes liquide-solide.

Le principe directeur reste le même : le poids corrigé de la poussée d’Archimède est équilibré par la traînée lors du mouvement terminal.

Comment appliquer cela à votre expérience sur unité pilote

Utilisez l’approche suivante en fonction de l’objectif de l’exercice :

Si votre objectif principal est la théorie à faible nombre de Reynolds : Appliquez le bilan des forces et utilisez (\displaystyle U_t=gD_p^2(\rho_p-\rho_f)/(18\mu)), puis vérifiez que le (Re_p) obtenu se situe dans la plage de Stokes.
Si votre objectif principal est la mesure expérimentale : Déterminez la pente de la position de la particule ou de l’interface en fonction du temps dans la zone de sédimentation terminale et comparez-la à la vitesse calculée.
Si votre objectif principal est la conception de l’équipement : Utilisez la corrélation de traînée appropriée, le temps de séjour et la distance de sédimentation, plutôt que de vous fier à la loi de Stokes sans vérifier le régime d’écoulement.
Si votre objectif principal est le changement d’échelle : Enregistrez la distribution granulométrique, la concentration, la température, les propriétés du fluide et la géométrie du récipient, car ces paramètres déterminent si le comportement en laboratoire représente les conditions pilotes ou industrielles.

Une détermination fiable de la vitesse terminale combine le bilan des forces, la vérification du régime et la comparaison directe avec les mesures réalisées sur l’unité pilote.

Tableau récapitulatif :

Aspect clé	Point principal
Principe directeur	La vitesse terminale est atteinte lorsque le poids corrigé de la poussée d’Archimède est égal à la traînée hydrodynamique.
Loi de Stokes	`Ut = gDp²(rhop - rhof) / 18mu` pour de faibles nombres de Reynolds des particules.
Variables clés	Diamètre des particules, différence de masse volumique, viscosité du fluide et gravité.
Vérification du régime	Calculer `Rep` et confirmer si une traînée de Stokes, de transition ou turbulente s’applique.
Méthode expérimentale	Mesurer la pente de la position de la particule ou de l’interface en fonction du temps dans la zone de sédimentation terminale.
Utilisation pour la séparation	Estimer le temps de sédimentation et évaluer les performances des bassins de sédimentation, des décanteurs et des épaississeurs.
Sources d’erreur	Forme des particules, distribution granulométrique, effets de paroi, concentration, température et mouvement terminal incomplet.
Données pour le changement d’échelle	Enregistrer les propriétés des particules, la concentration de la suspension, les conditions du fluide et la géométrie du récipient.

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