La conservation de la quantité de mouvement dans l'analyse par volume de contrôle est formulée comme un bilan des forces sur une région fixe ou mobile du fluide. En utilisant la deuxième loi de Newton avec le théorème de transport de Reynolds, le taux d'accumulation de la quantité de mouvement à l'intérieur du volume de contrôle, ajouté au flux net de quantité de mouvement convective à travers sa surface de contrôle, est égal à la force externe totale. La force totale est séparée en forces volumiques, qui agissent dans tout le volume du fluide, et forces surfaciques, qui agissent à travers la surface de contrôle par le biais de la pression et des contraintes visqueuses.

L'équation de la quantité de mouvement pour un volume de contrôle est [ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \mathbf{v},dV +\oint_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA =\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA. ] Le côté droit contient la contribution des forces volumiques et la contribution des forces surfaciques.

Comment la conservation de la quantité de mouvement est formulée

Commencer par la deuxième loi de Newton

Pour un système matériel, la deuxième loi de Newton stipule que la force externe nette est égale au taux de variation de la quantité de mouvement :

[ \mathbf{F}_{\text{net}}

\frac{d}{dt}\int_{\text{system}}\rho\mathbf{v},dV. ]

Ici, (\rho) est la masse volumique du fluide et (\mathbf{v}) est le vecteur vitesse.

Pour un élément de fluide matériel, la même relation peut être exprimée sous forme différentielle comme suit :

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}, ]

où (D\mathbf{v}/Dt) est l'accélération matérielle et (\mathbf{f}) est la force nette par unité de volume.

Appliquer le théorème de transport de Reynolds

Un volume de contrôle est une région sélectionnée dans l'espace à travers laquelle le fluide peut s'écouler. Le théorème de transport de Reynolds convertit le bilan du système en un bilan de volume de contrôle en tenant compte à la fois de la quantité de mouvement stockée à l'intérieur du volume et de celle transportée à travers sa limite.

Pour un volume de contrôle stationnaire :

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\mathbf{F}_{\text{net}}. ]

Le premier terme représente l'accumulation de quantité de mouvement à l'intérieur du volume de contrôle. Le second représente le flux convectif net de quantité de mouvement à travers la surface de contrôle.

Interpréter le flux convectif de quantité de mouvement

Le vecteur (\mathbf{n}) est la normale unitaire sortante à la surface de contrôle. La quantité (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) identifie la composante normale de la vitesse traversant la surface.

Le fluide entrant dans le volume de contrôle a (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0), tandis que le fluide sortant a (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>0). Cette convention de signe prend automatiquement en compte les contributions de quantité de mouvement à l'entrée et à la sortie.

Pour un écoulement stationnaire unidimensionnel avec des profils de vitesse uniformes, le bilan se réduit souvent à :

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}. ]

Comment les forces volumiques et surfaciques diffèrent

Les forces volumiques agissent dans tout le volume du fluide

Une force volumique agit directement sur la masse du fluide dans tout le volume de contrôle. Elle ne nécessite pas de contact physique avec une limite.

La contribution générale des forces volumiques est :

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV, ]

où (\mathbf{b}) est la force volumique par unité de masse.

L'exemple dominant dans la plupart des opérations unitaires d'écoulement de fluides est la gravité :

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV. ]

Pour une densité constante et un champ gravitationnel uniforme, cela devient :

[ \mathbf{F}_V

\rho\mathbf{g}V_{CV}. ]

La gravité est importante dans les calculs de pression hydrostatique, la tuyauterie verticale, les réservoirs, les colonnes et les systèmes impliquant des changements d'élévation.

Les forces surfaciques agissent à travers la limite

Une force surfacique agit sur le fluide à travers la surface de contrôle. Ces forces proviennent du fluide voisin, des parois solides, des pompes, des vannes et d'autres surfaces en contact.

L'expression générale est :

[ \mathbf{F}_S

\oint_{CS}\mathbf{s}(\mathbf{n}),dA

\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA, ]

où (\mathbf{s}(\mathbf{n})) est le vecteur de traction surfacique et (\boldsymbol{\sigma}) est le tenseur des contraintes.

Les forces surfaciques ont deux composantes principales :

[ \boldsymbol{\sigma}

-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}. ]

Le terme (-p\mathbf{I}) représente la contrainte de pression isotrope. Le tenseur (\boldsymbol{\tau}) représente la contrainte visqueuse ou déviatorique causée par les gradients de vitesse.

Les forces de pression agissent normalement

La pression agit perpendiculairement à la surface. Sa contribution est :

[ \mathbf{F}_p

-\oint_{CS}p\mathbf{n},dA. ]

Le signe négatif découle de la convention de la normale sortante : la pression exercée sur le fluide pointe vers l'intérieur par rapport à la surface environnante.

Les forces de pression sont centrales dans les bilans de quantité de mouvement à travers les réducteurs, les buses, les coudes, les pompes et les raccords de tuyauterie. Leur résultante peut produire une poussée, des forces de réaction ou des relations de chute de pression.

Les forces visqueuses agissent tangentiellement

La contrainte de cisaillement visqueux agit principalement tangentiellement à une paroi ou à une interface de fluide. Au niveau d'une paroi solide, elle est associée au gradient de vitesse près de la limite.

La contribution visqueuse est représentée par :

[ \mathbf{F}_{\tau}

\oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

Dans un écoulement interne, le cisaillement à la paroi produit des pertes de charge par frottement. Ces pertes influencent le dimensionnement des pompes, la puissance de fonctionnement et la performance hydraulique des réseaux de tuyauterie.

Le bilan complet des forces du volume de contrôle

La combinaison des termes de transport de quantité de mouvement avec les forces volumiques et surfaciques donne :

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV

\oint_{CS}p\mathbf{n},dA + \oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

Cette équation s'applique indépendamment dans chaque direction de coordonnées. Par exemple, un coude de tuyau horizontal est couramment analysé en utilisant les composantes (x) et (y) pour déterminer la force de support ou d'ancrage requise.

Simplification en régime permanent

Dans des conditions de régime permanent, l'accumulation de quantité de mouvement disparaît :

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV=0. ]

L'équation stipule alors que le flux net de quantité de mouvement quittant le volume de contrôle est égal à la somme des forces volumiques et surfaciques.

Cette forme est particulièrement utile pour analyser l'écoulement stationnaire dans les tuyaux, les stations de pompage, les vannes, les coudes et les systèmes d'alimentation des réacteurs.

Forme unidimensionnelle d'entrée et de sortie

Pour des entrées et sorties discrètes, le bilan de quantité de mouvement peut être écrit comme suit :

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}. ]

Le débit massique est :

[ \dot{m}=\rho A v, ]

pour un flux uniforme avec une section transversale (A) et une vitesse (v).

Cette forme technique est pratique lorsque les vitesses d'entrée et de sortie sont connues ou peuvent être estimées à partir de la continuité.

Pourquoi la distinction est importante dans les opérations unitaires

Prédire les chutes de pression et les pertes par frottement

Les forces de pression et les forces de cisaillement à la paroi doivent être distinguées lors du calcul des changements de pression dans les tuyaux et les équipements. Les différences de pression fournissent des forces motrices, tandis que le cisaillement visqueux explique les pertes par frottement irréversibles.

Ces résultats soutiennent la sélection des pompes et l'évaluation des limites de fonctionnement dans les systèmes à l'échelle pilote.

Évaluer les forces sur les équipements et la tuyauterie

Le flux de quantité de mouvement peut changer de direction même lorsque sa magnitude reste constante. Un coude de tuyau subit donc une force de réaction car le vecteur de quantité de mouvement du fluide change.

Un bilan de volume de contrôle fournit la force agissant sur le fluide ; la force égale et opposée détermine la charge transmise au raccord, au support ou à l'équipement.

Prendre en compte les effets d'élévation et hydrostatiques

Les forces volumiques deviennent significatives lorsque le volume de contrôle a une étendue verticale importante ou lorsque le fluide est statique ou en mouvement lent. La gravité contribue alors à la distribution de la pression et à la charge hydrostatique.

Dans les colonnes verticales et les réservoirs, omettre le terme de force volumique peut produire une prédiction incorrecte de la pression ou de la force.

Comprendre les compromis

Les bilans intégraux nécessitent une moyenne appropriée

L'équation du volume de contrôle est exacte, mais les calculs pratiques utilisent souvent des vitesses moyennes, des profils uniformes et des distributions de pression simplifiées. Ces approximations peuvent être inadéquates là où l'écoulement est fortement en développement, turbulent, séparé ou multiphasique.

Des facteurs de correction de profil de vitesse peuvent être nécessaires lorsque la distribution de vitesse est loin d'être uniforme.

La pression et le cisaillement ne peuvent pas être interchangés

La pression est une contrainte normale, tandis que le cisaillement visqueux est une contrainte tangentielle. Traiter toutes les forces surfaciques comme des forces de pression peut donner une force résultante incorrecte et sous-estimer les pertes par frottement.

À l'inverse, inclure le cisaillement à la paroi là où il est négligeable peut ajouter une complexité inutile sans améliorer le résultat.

Le volume de contrôle choisi affecte le calcul

La surface de contrôle doit être placée là où les pressions, les vitesses et les débits sont connus ou peuvent être estimés de manière fiable. Un volume de contrôle mal sélectionné peut introduire des forces de paroi inconnues ou des interfaces inutiles.

Pour les équipements contenant des composants internes, la sélection de limites autour de l'ensemble du dispositif peut simplifier le bilan en remplaçant les forces internes par une force externe nette.

L'analyse de la quantité de mouvement ne remplace pas l'analyse énergétique

La conservation de la quantité de mouvement détermine les forces et les changements de quantité de mouvement, mais elle ne détermine pas par elle-même les changements de température, le transfert de chaleur ou les pertes d'énergie mécanique. Des bilans énergétiques sont nécessaires pour l'équipement thermique, la puissance des pompes et l'analyse des échangeurs de chaleur.

Dans la conception complète des opérations unitaires, les bilans de masse, de quantité de mouvement et d'énergie sont utilisés ensemble.

Faire le bon choix pour votre objectif

Utilisez l'équation de la quantité de mouvement du volume de contrôle en identifiant le volume de contrôle, en spécifiant les flux de quantité de mouvement d'entrée et de sortie, et en évaluant chaque contribution de force volumique et surfacique.

• Si votre objectif principal est la prédiction de la chute de pression : Incluez soigneusement les contributions de pression et de cisaillement à la paroi, et utilisez des corrélations appropriées de profil de vitesse ou de facteur de frottement.
• Si votre objectif principal est la conception de pompes et de tuyauterie : Appliquez le bilan de quantité de mouvement stationnaire pour déterminer les forces de pression, les réactions des équipements et les charges de support.
• Si votre objectif principal est les systèmes verticaux ou hydrostatiques : Incluez le terme de force volumique (\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV) et tenez compte explicitement des effets d'élévation.
• Si votre objectif principal est la mise à l'échelle d'une usine pilote : Combinez les bilans de quantité de mouvement avec les bilans de continuité et d'énergie afin que la distribution de l'écoulement, les pertes de pression et les effets thermiques soient évalués de manière cohérente.

Un volume de contrôle bien choisi transforme la conservation de la quantité de mouvement du fluide en un lien direct et quantitatif entre le comportement de l'écoulement et les forces agissant sur l'équipement de traitement.

Tableau récapitulatif :

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