Les fluides newtoniens utilisent une loi linéaire de contrainte à viscosité constante, tandis que les fluides non newtoniens nécessitent un modèle constitutif dans lequel la contrainte dépend de l’historique de déformation, du taux de déformation, ou des deux. Pour un fluide newtonien incompressible, le tenseur des contraintes visqueuses est (\boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{\Gamma}=\mu[\nabla\mathbf{v}+(\nabla\mathbf{v})^T]), avec une viscosité dynamique constante (\mu). Dans les installations pilotes, les fluides non newtoniens utilisent plutôt une viscosité apparente dépendant du taux de déformation, une relation de contrainte seuil ou une équation de contrainte viscoélastique, ce qui modifie les prédictions relatives aux pertes de charge, à la charge de la pompe, à la puissance de mélange et à la mise à l’échelle.

La différence fondamentale réside dans la fermeture constitutive : la viscosité newtonienne est constante et produit un problème linéaire de transport de la quantité de mouvement, tandis que les équations constitutives non newtoniennes rendent la contrainte dépendante du cisaillement local, de la structure du matériau ou de l’historique de déformation.

Pourquoi l’équation constitutive est importante

Les contraintes et la pression décrivent des effets différents

La contrainte totale est généralement séparée en une pression isotrope et une contrainte visqueuse déviatorique. La pression contribue à la hauteur statique et aux classes de pression, tandis que la contrainte visqueuse régit le frottement, le couple, la dissipation d’énergie et les forces liées à la déformation.

Cette distinction est importante dans les installations pilotes, car l’augmentation de la pression du système n’accroît pas nécessairement la résistance visqueuse. La résistance dépend principalement des gradients de vitesse et du comportement constitutif du fluide.

Le tenseur des contraintes ferme l’équation de la quantité de mouvement

Les deux classes de fluides utilisent le bilan de quantité de mouvement

[ \rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}

-\nabla P+\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}+\rho\mathbf{g}. ]

L’équation de la quantité de mouvement elle-même n’est pas remplacée pour un fluide non newtonien. C’est l’équation constitutive de (\boldsymbol{\tau}) qui change, et cette modification rend le problème global d’écoulement non linéaire ou dépendant de l’historique.

Comportement constitutif newtonien

Une viscosité constante produit une relation linéaire

Pour un fluide newtonien incompressible,

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{\Gamma}, ]

où

[ \boldsymbol{\Gamma}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right]. ]

La viscosité (\mu) peut dépendre de la température, de la pression ou de la composition, mais à un état donné, elle ne dépend pas du taux de cisaillement local.

Les calculs en installation pilote sont relativement directs

L’eau, les solutions aqueuses diluées, les huiles légères et de nombreux gaz peuvent souvent être modélisés à l’aide de cette relation. Les pertes de charge en conduite, les profils de vitesse, les nombres de Reynolds et les besoins des pompes peuvent alors être calculés au moyen de corrélations newtoniennes établies.

Pour un fluide newtonien, le nombre de Reynolds s’écrit généralement

[ Re=\frac{\rho U L}{\mu} ]

pour un écoulement en conduite, ou

[ Re=\frac{\rho N D^2}{\mu} ]

pour le mélange en cuve agitée, où (U) et (L) représentent la vitesse et la longueur caractéristiques de l’écoulement, et (N) et (D) représentent la vitesse de rotation et le diamètre de l’agitateur.

Les principales variables d’ingénierie sont les conditions d’état

Bien que la loi constitutive soit simple, la viscosité peut néanmoins varier considérablement avec la température ou la concentration. Les mesures en installation pilote doivent donc utiliser la viscosité correspondant aux conditions réelles de fonctionnement, plutôt qu’une valeur de catalogue mesurée dans un état différent.

Comportement constitutif non newtonien

La viscosité apparente dépend du taux de déformation

Pour de nombreux fluides non newtoniens indépendants du temps, la contrainte peut s’écrire sous une forme newtonienne généralisée :

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu_a(\dot{\gamma})\boldsymbol{\Gamma}, ]

où (\mu_a) est la viscosité apparente et (\dot{\gamma}) une mesure scalaire du taux de déformation.

Un choix courant est

[ \dot{\gamma}=\sqrt{2\boldsymbol{\Gamma}:\boldsymbol{\Gamma}}. ]

Comme (\mu_a) varie avec (\dot{\gamma}), la contrainte n’est plus proportionnelle linéairement au tenseur des taux de déformation.

Les fluides en loi de puissance modélisent la rhéofluidification et la rhéoépaississement

Le modèle en loi de puissance s’exprime souvent comme suit :

[ \boldsymbol{\tau}

2m\dot{\gamma}^{,n-1}\boldsymbol{\Gamma}, ]

ou, de manière équivalente,

[ \mu_a=m\dot{\gamma}^{,n-1}. ]

Ici, (m) est l’indice de consistance et (n) l’indice de comportement d’écoulement.

(n<1) : comportement de rhéo-fluidification, dans lequel la viscosité apparente diminue lorsque le taux de cisaillement augmente.
(n=1) : comportement de type newtonien dans le cadre du modèle.
(n>1) : comportement de rhéo-épaississement, dans lequel la viscosité apparente augmente avec le taux de cisaillement.

Les bouillons de fermentation, les solutions de polymères, les émulsions et les suspensions concentrées peuvent présenter ces comportements dans la plage de fonctionnement d’une unité pilote.

Les fluides à contrainte seuil nécessitent un modèle à seuil

Certains matériaux se comportent comme s’ils ne s’écoulaient pas tant que la contrainte appliquée ne dépasse pas une contrainte seuil (\tau_0). Une relation de Bingham s’écrit

[ \boldsymbol{\tau}

2\left(\mu_p+\frac{\tau_0}{\dot{\gamma}}\right)\boldsymbol{\Gamma}, ]

lorsque (\tau>\tau_0), où (\mu_p) est la viscosité plastique.

En dessous de la contrainte seuil, le modèle idéalisé prédit une région non cisaillée présentant une déformation négligeable. Des modèles plus avancés, tels que celui de Herschel-Bulkley, combinent une contrainte seuil et un comportement en loi de puissance :

[ \tau=\tau_0+m\dot{\gamma}^{,n}. ]

Ce comportement affecte la pression au démarrage, les zones mortes, la vidange, la stabilité des suspensions et la capacité d’une pompe ou d’un agitateur à amorcer le mouvement global.

Les fluides viscoélastiques nécessitent des équations d’évolution de la contrainte

Certains fluides non newtoniens ne peuvent pas être décrits correctement par une simple viscosité instantanée. Les solutions de polymères, les polymères fondus et certains fluides biologiques peuvent stocker de l’énergie élastique et présenter une relaxation des contraintes, des différences de contraintes normales et des effets de mémoire.

Ces fluides nécessitent une équation d’évolution distincte pour la contrainte, telle qu’un modèle constitutif viscoélastique approprié. La contrainte dépend alors de l’historique de déformation du matériau, et pas uniquement de son taux de déformation actuel.

Conséquences pour les opérations en installation pilote

Pompage et prédiction des pertes de charge

Pour les fluides newtoniens, la perte de charge dépend principalement de la masse volumique, de la viscosité constante, du débit, de la géométrie et du régime d’écoulement. Les corrélations standard du facteur de frottement sont souvent suffisantes dans leur domaine de validité.

Pour les fluides non newtoniens, la viscosité pertinente varie avec le taux de cisaillement local. Les régions proches des parois, les raccords, les vannes et les passages de pompe peuvent donc subir des viscosités apparentes différentes, ce qui rend la prédiction des pertes de charge dépendante de l’ensemble du champ de vitesse.

Sélection de la pompe et comportement au démarrage

Les fluides rhéofluidifiants peuvent devenir plus faciles à transporter à des taux de cisaillement élevés, bien que la pompe doive toujours supporter la viscosité rencontrée au démarrage et dans les régions à faible cisaillement. Les fluides rhéoépaississants peuvent imposer des charges augmentant rapidement et déstabiliser ou surcharger une pompe.

Les matériaux à contrainte seuil nécessitent souvent un équipement capable de générer un couple ou une pression de démarrage suffisants. Les pompes volumétriques peuvent convenir à la distribution contrôlée de matériaux visqueux, tandis que les pompes centrifuges peuvent être efficaces lorsque la viscosité et les conditions d’aspiration restent dans leur domaine de fonctionnement.

Puissance de mélange et conception de l’agitateur

Pour les fluides newtoniens, la puissance de l’agitateur est généralement corrélée à l’aide d’un nombre de Reynolds newtonien et d’un nombre de puissance. La relation entre la vitesse, le diamètre, la masse volumique, la viscosité et la puissance est relativement standardisée.

Pour les fluides non newtoniens, le cisaillement local varie dans toute la cuve. Les ingénieurs estiment souvent un taux de cisaillement représentatif à l’aide d’une corrélation telle que l’approche de Metzner-Otto, puis évaluent la viscosité apparente à ce taux :

[ \dot{\gamma}_{\text{avg}}\approx K_sN. ]

La viscosité apparente obtenue peut être utilisée dans un nombre de Reynolds de mélange effectif :

[ Re_{\text{mix}}

\frac{\rho N D^2}{\mu_a}. ]

Il s’agit d’une approximation d’ingénierie, et non d’un remplacement universel d’une solution complète de l’écoulement.

La mise à l’échelle nécessite une similitude rhéologique

Le simple fait de faire correspondre la vitesse de rotation de l’agitateur ou l’échelle géométrique ne garantit pas un mélange équivalent. Les systèmes pilote et de production doivent être comparés en utilisant le modèle rhéologique pertinent, la température de fonctionnement, la concentration, la plage de taux de cisaillement et les groupes adimensionnels.

Pour les matériaux biologiques sensibles au cisaillement, l’objectif peut également consister à limiter la contrainte locale ou la dissipation d’énergie plutôt qu’à maximiser l’intensité du mélange. Une conception qui fait correspondre la puissance moyenne fournie peut tout de même créer des zones de cisaillement élevé dommageables près d’un agitateur ou d’une vanne.

La séparation et le transfert thermique sont également affectés

La viscosité influence la sédimentation, la filtration, la centrifugation et la distribution de l’écoulement dans les échangeurs thermiques. Le comportement non newtonien peut créer des régions stagnantes ou faiblement mélangées, modifier les distributions des temps de séjour et réduire les performances effectives de transfert thermique.

Ces effets deviennent particulièrement importants lorsque la structure du fluide évolue pendant le traitement, notamment par floculation, croissance cellulaire, polymérisation ou augmentation de la charge en solides.

Comprendre les compromis

Les modèles de viscosité apparente sont utiles, mais limités

Un modèle newtonien généralisé est plus simple sur le plan numérique qu’un modèle viscoélastique et convient souvent aux calculs de transport et de mélange en régime stationnaire. Toutefois, il ne peut pas représenter le retour élastique, la relaxation des contraintes ou les différences de contraintes normales.

L’utilisation d’une seule valeur de viscosité pour un fluide fortement dépendant du cisaillement peut produire des prédictions trompeuses concernant les pompes, les pertes de charge et le mélange.

Un seul taux de cisaillement représentatif peut masquer des extrêmes locaux

La méthode de Metzner-Otto et les corrélations similaires fournissent un taux de cisaillement moyen ou effectif. Elles sont utiles pour les calculs de mise à l’échelle, mais ne résolvent pas la large distribution des taux de cisaillement dans une cuve agitée.

Les régions locales peuvent subir un cisaillement beaucoup plus élevé ou plus faible que la moyenne sélectionnée. Cela est important pour les dommages cellulaires, l’agrégation, la cinétique des réactions et les régions qui restent mal mélangées.

Les données rhéologiques doivent couvrir la plage de fonctionnement

Un modèle ajusté en loi de puissance ou à contrainte seuil n’est fiable que dans la plage de taux de cisaillement, de température et de composition utilisée pour déterminer ses paramètres. L’extrapolation au-delà de cette plage peut être particulièrement risquée lors du démarrage, de l’arrêt, du nettoyage et des situations perturbées.

Les mesures en installation pilote doivent tenir compte de la dépendance au temps lorsque la structure du matériau évolue. La thixotropie et la rhéopexie nécessitent des modèles intégrant la récupération ou la dégradation de la structure au cours du temps, et pas seulement la dépendance instantanée au taux de cisaillement.

La simulation non newtonienne accroît la complexité des modèles et des calculs numériques

Une viscosité dépendant du taux de déformation crée des équations de quantité de mouvement non linéaires, tandis que les surfaces de seuil et les contraintes viscoélastiques peuvent introduire des difficultés supplémentaires de convergence et de résolution. Le modèle constitutif doit être implémenté avec des conditions aux limites appropriées et validé à partir de mesures de pertes de charge, de couple ou de vitesse.

Une modélisation plus complexe est justifiée lorsque la rhéologie influence de manière significative le dimensionnement des équipements, la qualité du produit, la viabilité biologique ou la sécurité des procédés.

Faire le bon choix selon votre objectif

L’équation constitutive appropriée doit refléter à la fois la rhéologie mesurée du fluide et la question opérationnelle étudiée.

Si votre objectif principal est le transport newtonien en conduite : utilisez la loi de contrainte à viscosité constante ainsi que les corrélations standard de pertes de charge, de nombre de Reynolds et de pompe, en corrigeant la viscosité selon la température et la composition.
Si votre objectif principal est un écoulement rhéofluidifiant ou rhéoépaississant : utilisez un modèle newtonien généralisé, tel que le modèle en loi de puissance, et évaluez la viscosité apparente sur la plage pertinente de taux de cisaillement local ou représentatif.
Si votre objectif principal concerne le démarrage, la stabilité des suspensions ou les régions stagnantes : intégrez un modèle à contrainte seuil et évaluez à la fois les zones cisaillées et non cisaillées.
Si votre objectif principal concerne un comportement polymérique ou fortement élastique : utilisez une équation constitutive viscoélastique qui prend en compte l’historique des contraintes, la relaxation et les effets des contraintes normales.
Si votre objectif principal est la mise à l’échelle du pilote vers la production : faites correspondre la géométrie, les conditions de fonctionnement, le comportement rhéologique et les groupes adimensionnels régissant le transfert de quantité de mouvement, plutôt que de faire correspondre uniquement la vitesse de rotation de l’agitateur.

Une modélisation constitutive précise relie le comportement mesuré du fluide à des décisions fiables concernant les pompes, les mélangeurs, les tuyauteries, les équipements de séparation et la mise à l’échelle des installations pilotes.

Tableau récapitulatif :

Comportement du fluide	Modèle constitutif	Impact clé sur la conception
Newtonien	Loi linéaire de contrainte à viscosité constante	Calculs directs des pertes de charge, du nombre de Reynolds et des pompes
Rhéofluidifiant	Modèle en loi de puissance ou newtonien généralisé avec viscosité apparente décroissante	Résistance plus faible à fort cisaillement, mais présence possible de zones à faible cisaillement
Rhéoépaississant	Modèle en loi de puissance avec viscosité apparente croissante	Charges plus élevées sur les pompes et instabilité possible de l’écoulement
À contrainte seuil	Modèle de Bingham ou de Herschel-Bulkley	Couple de démarrage, zones non cisaillées, zones mortes et stabilité des suspensions
Viscoélastique	Équation d’évolution de la contrainte avec effets de mémoire	Relaxation des contraintes, contraintes normales, effets élastiques et mise à l’échelle complexe
Dépendant du temps	Modèle thixotrope ou rhéopectique	Récupération ou dégradation de la structure lors du démarrage, du fonctionnement et de l’arrêt

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