Les perturbations en échelon sont modélisées comme des variations maintenues, tandis que les perturbations impulsionnelles sont modélisées comme des entrées concentrées de courte durée. Un échelon d’amplitude (A) s’écrit (u_d(t)=A,\mathcal{H}(t)), où (\mathcal{H}(t)) est la fonction échelon unité, et possède pour transformée de Laplace (U_d(s)=A/s). Une impulsion s’écrit (u_d(t)=B,\delta(t)), où (B) représente son aire ou la quantité totale injectée, et possède pour transformée de Laplace (U_d(s)=B) ; une impulsion unité a (B=1).

Un échelon teste la manière dont une installation pilote passe d’une condition de fonctionnement à une autre, tandis qu’une impulsion révèle la distribution dynamique de la réponse de l’installation au cours du temps. Avec un modèle de procédé (G(s)), la sortie correspondante est obtenue à partir de (Y(s)=G(s)U_d(s)).

Modélisation des perturbations dans les installations pilotes

Les entrées en échelon représentent des variations durables des conditions de fonctionnement

Une perturbation en échelon d’amplitude (A) est modélisée par

[ d(t)=A,\mathcal{H}(t) ]

où

[ \mathcal{H}(t)= \begin{cases} 0, & t<0\ 1, & t\geq 0 \end{cases} ]

Sa transformée de Laplace est

[ D(s)=\mathcal{L}{A,\mathcal{H}(t)}=\frac{A}{s}. ]

Cela représente une variation soudaine qui reste effective, telle qu’une nouvelle position de vanne, un nouveau débit d’alimentation, une nouvelle puissance de chauffage ou une nouvelle consigne de régulation.

Les entrées impulsionnelles représentent des événements concentrés

Une perturbation impulsionnelle est modélisée par

[ d(t)=B,\delta(t), ]

où (\delta(t)) est la fonction delta de Dirac et (B) est l’aire de l’impulsion :

[ \int_{-\infty}^{\infty} B,\delta(t),dt=B. ]

Sa transformée de Laplace est

[ D(s)=\mathcal{L}{B,\delta(t)}=B. ]

Pour une impulsion unité, (B=1), de sorte que la transformée est simplement

[ D(s)=1. ]

Dans une installation pilote, une impulsion idéale constitue une approximation d’une injection très rapide de traceur, de catalyseur ou de réactif, dont la durée est négligeable par rapport au temps de réponse du procédé.

Calcul de la réponse transitoire

Les modèles de procédé relient les entrées aux sorties

Pour un modèle de procédé linéarisé dont la fonction de transfert est

[ G(s)=\frac{Y(s)}{D(s)}, ]

la transformée de la sortie est

[ Y(s)=G(s)D(s). ]

La réponse transitoire dans le domaine temporel est obtenue en calculant la transformée de Laplace inverse de (Y(s)).

Ce cadre permet de tester un même modèle d’installation avec différents types de perturbations sans modifier la dynamique sous-jacente du procédé.

Réponse à une perturbation en échelon

Pour un échelon d’amplitude (A),

[ Y_{\text{step}}(s)=G(s)\frac{A}{s}. ]

Le facteur (1/s) tient compte du fait que la perturbation reste à sa nouvelle valeur après la variation.

Pour un procédé du premier ordre,

[ G(s)=\frac{K}{\tau s+1}, ]

où (K) est le gain en régime permanent et (\tau) la constante de temps. La réponse en échelon devient

[ Y_{\text{step}}(s)

\frac{KA}{s(\tau s+1)}. ]

Sa forme dans le domaine temporel est

[ y_{\text{step}}(t)=KA\left(1-e^{-t/\tau}\right), \qquad t\geq 0. ]

La variation finale de la sortie est (KA), et la constante de temps indique la rapidité avec laquelle l’installation s’approche de ce nouveau régime permanent.

Réponse à une perturbation impulsionnelle

Pour une impulsion d’aire (B),

[ Y_{\text{impulse}}(s)=G(s)B. ]

Pour une impulsion unité, cela devient

[ Y_{\text{impulse}}(s)=G(s). ]

Par conséquent, la réponse impulsionnelle est la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert du procédé elle-même.

Pour le même procédé du premier ordre,

[ Y_{\text{impulse}}(s)=\frac{KB}{\tau s+1}, ]

donc

[ y_{\text{impulse}}(t)=\frac{KB}{\tau}e^{-t/\tau}, \qquad t\geq 0. ]

Contrairement à la réponse en échelon, la réponse impulsionnelle revient généralement vers zéro après le passage de la perturbation.

Ce que révèle chaque essai

Les essais en échelon permettent d’estimer le gain et les constantes de temps

Un essai en échelon est particulièrement utile pour identifier :

Le gain en régime permanent : la variation finale de la sortie divisée par la variation de l’entrée.
La constante de temps : la vitesse caractéristique de la réponse transitoire.
L’ordre du procédé : déterminer si la réponse se comporte comme un système du premier ordre, du deuxième ordre ou un système plus complexe.
La stabilité : déterminer si la sortie se stabilise, oscille ou diverge.

Pour une réponse du premier ordre, la sortie atteint environ (63.2 %) de sa variation finale après une constante de temps.

Les essais impulsionnels révèlent le comportement des temps de séjour

Dans les systèmes en écoulement, un essai avec traceur impulsionnel produit une réponse de concentration en un point situé en aval. La réponse normalisée est généralement interprétée comme une distribution des temps de séjour, ou RTD.

Si (C(t)) est la concentration de traceur mesurée, une RTD normalisée s’écrit souvent

[ E(t)=\frac{C(t)}{\int_0^\infty C(t),dt}. ]

La fonction (E(t)) décrit la fraction de matière quittant le système pour chaque temps de séjour. Son intégrale vaut un :

[ \int_0^\infty E(t),dt=1. ]

La RTD cumulative correspondante est

[ F(t)=\int_0^t E(\lambda),d\lambda. ]

Ainsi, une expérience impulsionnelle fournit la distribution (E(t)), tandis qu’une expérience avec traceur en échelon fournit sa forme cumulative (F(t)).

Les réponses en échelon et impulsionnelle sont liées mathématiquement

Pour un système linéaire causal, la réponse à un échelon unité est l’intégrale de la réponse impulsionnelle :

[ g_{\text{step}}(t)=\int_0^t g_{\text{impulse}}(\lambda),d\lambda. ]

Inversement, la réponse impulsionnelle est la dérivée temporelle de la réponse en échelon :

[ g_{\text{impulse}}(t)=\frac{d}{dt}g_{\text{step}}(t). ]

Cette relation explique pourquoi les essais en échelon identifient la manière dont le procédé évolue vers une nouvelle condition, tandis que les essais impulsionnels mettent en évidence le moment d’apparition et la forme de la réponse dynamique interne du procédé.

Représentation du temps mort et des retards

Les retards de transport décalent la réponse

Les installations pilotes comportent souvent des retards de transport causés par les conduites, le temps de séjour du fluide, l’emplacement des capteurs et le temps de réponse des analyseurs. Un retard pur de (\theta) unités est représenté dans le domaine de Laplace par

[ e^{-\theta s}. ]

Un modèle du premier ordre avec temps mort peut donc s’écrire

[ G(s)=\frac{K e^{-\theta s}}{\tau s+1}. ]

La transformée de l’entrée en échelon retardée est

[ D_{\text{step}}(s)=\frac{A e^{-\theta s}}{s}, ]

et la transformée de la réponse impulsionnelle retardée est

[ D_{\text{impulse}}(s)=B e^{-\theta s}. ]

Dans le domaine temporel, la réponse est nulle avant (t=\theta), puis le transitoire du procédé commence.

Les retards influencent l’évaluation de la régulation

Le temps mort réduit la capacité du régulateur à réagir avant que la sortie du procédé ne reflète une variation. Le négliger peut conduire à des réglages PID trop agressifs et faire paraître une boucle de régulation simulée plus stable que l’installation pilote physique.

L’inclusion de (e^{-\theta s}) fournit au modèle mathématique une représentation plus proche du comportement réel des mesures et du transport.

Comprendre les compromis

Les entrées idéales sont des approximations

Une vanne physique ne peut pas changer de position instantanément, et une injection de traceur possède toujours une durée finie. Les essais réels approximativement donc les échelons et les impulsions idéaux au moyen de mouvements rapides de vanne ou de brèves injections pulsées.

L’approximation n’est utile que lorsque la durée de l’entrée est faible par rapport à l’échelle de temps dominante du procédé.

Les essais en échelon peuvent perturber le point de fonctionnement

Un échelon important peut entraîner la température, la pression, la composition ou le débit en dehors de la plage de fonctionnement sûre ou linéaire. Il peut également modifier le gain du procédé ou la constante de temps pendant l’expérience.

L’amplitude de l’essai doit être suffisamment importante pour dépasser le bruit de mesure, mais suffisamment faible pour préserver un comportement approximativement linéaire.

Les essais impulsionnels sont sensibles à la qualité des mesures

Une réponse impulsionnelle peut être difficile à interpréter lorsque la quantité injectée est trop faible, que le capteur est bruité ou que l’injection n’est pas bien caractérisée. Une impulsion de largeur finie peut devoir être traitée comme l’entrée réelle plutôt que comme une fonction delta idéale.

Pour les études de RTD, la concentration mesurée doit également être normalisée de manière cohérente, car l’intégrale de la réponse représente la quantité totale de traceur détectée.

Les modèles linéaires ont un domaine d’application limité

La relation

[ Y(s)=G(s)D(s) ]

suppose un modèle linéaire invariant dans le temps, généralement obtenu en linéarisant l’installation autour d’un point de fonctionnement sélectionné. Les fortes non-linéarités, les changements de phase, la saturation, l’encrassement et les propriétés dépendant de la composition peuvent nécessiter une simulation dynamique non linéaire ou des essais à plusieurs conditions de fonctionnement.

Comment appliquer cela à votre projet

Utilisez le modèle de perturbation correspondant à la question physique étudiée :

Si votre objectif principal est le gain en régime permanent et la rapidité du procédé : appliquez une petite perturbation en échelon, ajustez la courbe de transition et estimez le gain, la constante de temps, l’ordre du procédé et l’éventuel temps mort.
Si votre objectif principal est la distribution des temps de séjour : appliquez une brève impulsion de traceur, mesurez l’historique de concentration en aval et normalisez-le afin d’obtenir (E(t)).
Si votre objectif principal est le réglage du régulateur : utilisez un modèle de réponse en échelon incluant le gain du procédé, les constantes de temps et le retard de transport avant de sélectionner les paramètres PID.
Si votre objectif principal est le comportement d’une injection rapide : modélisez la perturbation sous la forme (B\delta(t)), où (B) est la quantité injectée mesurée ou l’aire de l’impulsion, plutôt que de supposer automatiquement une impulsion unité.
Si votre objectif principal est la validation du modèle : comparez les courbes transitoires prédites et mesurées tout en vérifiant si la durée de l’entrée, le retard du capteur et la plage de fonctionnement justifient l’approximation linéaire.

Les entrées en échelon caractérisent la transition de l’installation entre différents états de fonctionnement, tandis que les entrées impulsionnelles révèlent la manière dont l’installation distribue et dissipe une perturbation au cours du temps.

Tableau récapitulatif :

Perturbation	Modèle mathématique	Utilisation optimale	Résultat clé
Échelon	`d(t) = A H(t)` ; `D(s) = A/s`	Gain, constante de temps, ordre du procédé, stabilité et réglage du régulateur	Transition vers une nouvelle condition de fonctionnement
Impulsion	`d(t) = B delta(t)` ; `D(s) = B`	Distribution des temps de séjour et forme de la réponse dynamique	Moment d’apparition et dissipation d’un événement de courte durée
Réponse en échelon du premier ordre	`y(t) = KA(1 - e^(-t/tau))`	Variation en régime permanent et rapidité du procédé	La variation finale est `KA` ; 63,2 % est atteint à `t = tau`
Réponse impulsionnelle du premier ordre	`y(t) = (KB/tau)e^(-t/tau)`	Comportement d’une injection de courte durée	La réponse décroît vers zéro
Modèle avec temps mort	`G(s) = K e^(-theta s)/(tau s + 1)`	Retard de transport et évaluation réaliste de la régulation	La réponse commence après le retard `theta`
Essai impulsionnel avec traceur	`E(t) = C(t)/integral C(t)dt`	Distribution des temps de séjour dans les systèmes en écoulement	Profil des temps de séjour de la matière

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